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[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 module Bidir where
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3 open import Data.Nat using (â„•)
4 open import Data.Fin using (Fin)
5 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
6 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; length)
7 open import Data.Vec using (toList ; fromList ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec)
8 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
9 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no)
10 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
11 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
12 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; inspect ; Reveal_is_)
13 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
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15 open import FinMap
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17 _>>=_ : {A B : Set} â†’ Maybe A â†’ (A â†’ Maybe B) â†’ Maybe B
18 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
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20 fmap : {A B : Set} â†’ (A â†’ B) â†’ Maybe A â†’ Maybe B
21 fmap f = maybe′ (λ a â†’ just (f a)) nothing
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23 EqInst : Set â†’ Set
24 EqInst A = (x y : A) â†’ Dec (x â‰¡ y)
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26 checkInsert : {A : Set} {n : â„•} â†’ EqInst A â†’ Fin n â†’ A â†’ FinMapMaybe n A â†’ Maybe (FinMapMaybe n A)
27 checkInsert eq i b m with lookupM i m
28 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
29 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
30 checkInsert eq i b m | just c  | no ¬p    = nothing
31 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
32 assoc : {A : Set} {n : â„•} â†’ EqInst A â†’ List (Fin n) â†’ List A â†’ Maybe (FinMapMaybe n A)
33 assoc _  []       []       = just empty
34 assoc eq (i âˆ· is) (b âˆ· bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
35 assoc _  _        _        = nothing
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37 lemma-checkInsert-generate : {Ï„ : Set} {n : â„•} â†’ (eq : EqInst Ï„) â†’ (f : Fin n â†’ Ï„) â†’ (i : Fin n) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ checkInsert eq i (f i) (generate f is) â‰¡ just (generate f (i âˆ· is))
38 lemma-checkInsert-generate eq f i is with lookupM i (generate f is) | inspect (lookupM i) (generate f is)
39 lemma-checkInsert-generate eq f i is | nothing     | _ = refl
40 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x      | Reveal_is_.[_] prf with lemma-lookupM-generate i f is x prf
41 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl with eq (f i) (f i)
42 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | yes refl = cong just (lemma-insert-same (generate f is) i (f i) prf)
43 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | no  ¬p   = contradiction refl ¬p
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45 lemma-1 : {Ï„ : Set} {n : â„•} â†’ (eq : EqInst Ï„) â†’ (f : Fin n â†’ Ï„) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ assoc eq is (map f is) â‰¡ just (generate f is)
46 lemma-1 eq f []        = refl
47 lemma-1 eq f (i âˆ· is′) = begin
48   (assoc eq (i âˆ· is′) (map f (i âˆ· is′)))
49     â‰¡âŸ¨ refl âŸ©
50   (assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i))
51     â‰¡âŸ¨ cong (λ m â†’ m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) âŸ©
52   (just (generate f is′) >>= (checkInsert eq i (f i)))
53     â‰¡âŸ¨ refl âŸ©
54   (checkInsert eq i (f i) (generate f is′))
55     â‰¡âŸ¨ lemma-checkInsert-generate eq f i is′ âŸ©
56   just (generate f (i âˆ· is′)) âˆŽ
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58 lemma-2 : {Ï„ : Set} {n : â„•} â†’ (eq : EqInst Ï„) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ (v : List Ï„) â†’ (h : FinMapMaybe n Ï„) â†’ just h â‰¡ assoc eq is v â†’ map (flip lookup h) is â‰¡ map just v
59 lemma-2 eq []       []       h p = refl
60 lemma-2 eq []       (x âˆ· xs) h ()
61 lemma-2 eq (x âˆ· xs) []       h ()
62 lemma-2 eq (i âˆ· is) (x âˆ· xs) h p = {!!}
63
64 idrange : (n : â„•) â†’ List (Fin n)
65 idrange n = toList (tabulate id)
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67 bff : ({A : Set} â†’ List A â†’ List A) â†’ ({B : Set} â†’ EqInst B â†’ List B â†’ List B â†’ Maybe (List B))
68 bff get eq s v = let s′ = idrange (length s)
69                      g  = fromFunc (λ f â†’ lookupVec f (fromList s))
70                      h  = assoc eq (get s′) v
71                      h′ = fmap (flip union g) h
72                  in fmap (flip map s′ âˆ˜ flip lookup) h′
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74 theorem-1 : (get : {α : Set} â†’ List Î± â†’ List Î±) â†’ {Ï„ : Set} â†’ (eq : EqInst Ï„) â†’ (s : List Ï„) â†’ bff get eq s (get s) â‰¡ just s
75 theorem-1 get eq s = {!!}