Bidir.agda

   1 module Bidir where
   2
   3 open import Data.Nat using (ℕ)
   4 open import Data.Fin using (Fin)
   5 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
   6 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; length)
   7 open import Data.List.Properties using (map-cong) renaming (map-compose to map-∘)
   8 open import Data.Vec using (toList ; fromList ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec ; _∷_ to _∷V_)
   9 open import Data.Vec.Properties using (tabulate-∘ ; lookup∘tabulate)
  10 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
  11 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no)
  12 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
  13 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
  14 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; Reveal_is_)
  15 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
  16
  17 open import FinMap
  18
  19 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
  20 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
  21
  22 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
  23 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
  24
  25 EqInst : Set → Set
  26 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
  27
  28 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  29 checkInsert eq i b m with lookupM i m
  30 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
  31 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
  32 checkInsert eq i b m | just c  | no �p    = nothing
  33 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
  34 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  35 assoc _  []       []       = just empty
  36 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
  37 assoc _  _        _        = nothing
  38
  39 lemma-checkInsert-generate : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (generate f is) ≡ just (generate f (i ∷ is))
  40 lemma-checkInsert-generate eq f i is with lookupM i (generate f is) | inspect (lookupM i) (generate f is)
  41 lemma-checkInsert-generate eq f i is | nothing     | _ = refl
  42 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x      | Reveal_is_.[_] prf with lemma-lookupM-generate i f is x prf
  43 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl with eq (f i) (f i)
  44 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | yes refl = cong just (lemma-insert-same (generate f is) i (f i) prf)
  45 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | no  �p   = contradiction refl �p
  46
  47 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (generate f is)
  48 lemma-1 eq f []        = refl
  49 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
  50   (assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′)))
  51     ≡⟨ refl ⟩
  52   (assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i))
  53     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
  54   (just (generate f is′) >>= (checkInsert eq i (f i)))
  55     ≡⟨ refl ⟩
  56   (checkInsert eq i (f i) (generate f is′))
  57     ≡⟨ lemma-checkInsert-generate eq f i is′ ⟩
  58   just (generate f (i ∷ is′)) ∎
  59
  60 lemma-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
  61 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p with assoc eq is xs
  62 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    ()   | nothing
  63 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p    | just h' with lookupM i h' | inspect (lookupM i) h'
  64 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs .(insert i x h') refl | just h' | nothing | _ = lemma-lookupM-insert i x h'
  65 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p    | just h'   | just y  | _ with eq x y
  66 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    ()   | just h'   | just y  | _ | no �prf
  67 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p    | just h'   | just .x | Reveal_is_.[_] p' | yes refl = begin
  68   lookupM i h
  69     ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (sym p)) ⟩
  70   lookupM i h'
  71     ≡⟨ p' ⟩
  72   just x ∎
  73
  74 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → assoc eq is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
  75 lemma-2 eq []       []       h p = refl
  76 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
  77 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
  78 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p with assoc eq is xs | inspect (assoc eq is) xs
  79 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h () | nothing | _
  80 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p | just h' | Reveal_is_.[_] ir = begin
  81   map (flip lookupM h) (i ∷ is)
  82     ≡⟨ refl ⟩
  83   lookup i h ∷ map (flip lookupM h) is
  84     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookup h) is)) (lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h (begin
  85       assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs)
  86         ≡⟨ cong (flip _>>=_ (checkInsert eq i x)) ir ⟩
  87       checkInsert eq i x h'
  88         ≡⟨ p ⟩
  89       just h ∎) ) ⟩
  90   just x ∷ map (flip lookupM h) is
  91     ≡⟨  cong (_∷_ (just x)) {!!} ⟩
  92   just x ∷ map (flip lookupM h') is
  93     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 eq is xs h' ir) ⟩
  94   just x ∷ map just xs
  95     ≡⟨ refl ⟩
  96   map just (x ∷ xs) ∎
  97
  98 enumerate : {A : Set} → (l : List A) → List (Fin (length l))
  99 enumerate l = toList (tabulate id)
 100
 101 denumerate : {A : Set} (l : List A) → Fin (length l) → A
 102 denumerate l = flip lookupVec (fromList l)
 103
 104 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
 105 bff get eq s v = let s′ = enumerate s
 106                      g  = fromFunc (denumerate s)
 107                      h  = assoc eq (get s′) v
 108                      h′ = fmap (flip union g) h
 109                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
 110
 111 postulate
 112   free-theorem-list-list : {β γ : Set} → (get : {α : Set} → List α → List α) → (f : β → γ) → (l : List β) → get (map f l) ≡ map f (get l)
 113
 114 toList-map-commutes : {A B : Set} {n : ℕ} → (f : A → B) → (v : Data.Vec.Vec A n) → (toList (Data.Vec.map f v)) ≡ map f (toList v)
 115 toList-map-commutes f Data.Vec.[] = refl
 116 toList-map-commutes f (x ∷V xs) = cong (_∷_ (f x)) (toList-map-commutes f xs)
 117
 118 lemma-map-denumerate-enumerate : {A : Set} → (as : List A) → map (denumerate as) (enumerate as) ≡ as
 119 lemma-map-denumerate-enumerate [] = refl
 120 lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
 121   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (tabulate Fin.suc))
 122     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) ∘ toList) (tabulate-∘ Fin.suc id) ⟩
 123   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (Data.Vec.map Fin.suc (tabulate id)))
 124     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V fromList as))) (toList-map-commutes Data.Fin.suc (tabulate id)) ⟩
 125   map (flip lookupVec (a ∷V fromList as)) (map Fin.suc (enumerate as))
 126     ≡⟨ sym (map-∘ (enumerate as)) ⟩
 127   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as)) ∘ Fin.suc) (enumerate as)
 128     ≡⟨ refl ⟩
 129   map (denumerate as) (enumerate as)
 130     ≡⟨ lemma-map-denumerate-enumerate as ⟩
 131   as ∎)
 132
 133 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
 134 theorem-1 get eq s = begin
 135   bff get eq s (get s)
 136     ≡⟨ cong (bff get eq s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
 137   bff get eq s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
 138     ≡⟨ cong (bff get eq s) (free-theorem-list-list get (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
 139   bff get eq s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
 140     ≡⟨ refl ⟩
 141   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (denumerate s))) (assoc eq (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s)))))
 142     ≡⟨ cong (fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) ∘ fmap (flip union (fromFunc (denumerate s)))) (lemma-1 eq (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
 143   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (flip lookupVec (fromList s)))) (just (generate (denumerate s) (get (enumerate s)))))
 144     ≡⟨ refl ⟩
 145   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (union (generate (denumerate s) (get (enumerate s))) (fromFunc (denumerate s))))
 146     ≡⟨ cong just (cong (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (lemma-union-generate (denumerate s) (get (enumerate s)))) ⟩
 147   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fromFunc (denumerate s)))
 148     ≡⟨ refl ⟩
 149   just (map (flip lookup (fromFunc (denumerate s))) (enumerate s))
 150     ≡⟨ cong just (map-cong (lookup∘tabulate (denumerate s)) (enumerate s)) ⟩
 151   just (map (denumerate s) (enumerate s))
 152     ≡⟨ cong just (lemma-map-denumerate-enumerate s) ⟩
 153   just s ∎
 154
 155 theorem-2 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (v s u : List τ) → bff get eq s v ≡ just u → get u ≡ v
 156 theorem-2 get eq v s u p = {!!}