Bidir.agda

   1 module Bidir where
   2
   3 open import Data.Nat using (ℕ)
   4 open import Data.Fin using (Fin)
   5 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
   6 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; length)
   7 open import Data.Vec using (toList ; fromList ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec)
   8 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
   9 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no)
  10 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
  11 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
  12 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; Reveal_is_)
  13 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
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  15 open import FinMap
  16
  17 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
  18 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
  19
  20 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
  21 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
  22
  23 EqInst : Set → Set
  24 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
  25
  26 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  27 checkInsert eq i b m with lookupM i m
  28 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
  29 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
  30 checkInsert eq i b m | just c  | no �p    = nothing
  31 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
  32 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  33 assoc _  []       []       = just empty
  34 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
  35 assoc _  _        _        = nothing
  36
  37 lemma-checkInsert-generate : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (generate f is) ≡ just (generate f (i ∷ is))
  38 lemma-checkInsert-generate eq f i is with lookupM i (generate f is) | inspect (lookupM i) (generate f is)
  39 lemma-checkInsert-generate eq f i is | nothing     | _ = refl
  40 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x      | Reveal_is_.[_] prf with lemma-lookupM-generate i f is x prf
  41 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl with eq (f i) (f i)
  42 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | yes refl = cong just (lemma-insert-same (generate f is) i (f i) prf)
  43 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | no  �p   = contradiction refl �p
  44
  45 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (generate f is)
  46 lemma-1 eq f []        = refl
  47 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
  48   (assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′)))
  49     ≡⟨ refl ⟩
  50   (assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i))
  51     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
  52   (just (generate f is′) >>= (checkInsert eq i (f i)))
  53     ≡⟨ refl ⟩
  54   (checkInsert eq i (f i) (generate f is′))
  55     ≡⟨ lemma-checkInsert-generate eq f i is′ ⟩
  56   just (generate f (i ∷ is′)) ∎
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  58 lemma-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
  59 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p with assoc eq is xs
  60 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    ()   | nothing
  61 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p    | just h' with lookupM i h' | inspect (lookupM i) h'
  62 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs .(insert i x h') refl | just h' | nothing | _ = lemma-lookupM-insert i x h'
  63 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p    | just h'   | just y  | _ with eq x y
  64 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    ()   | just h'   | just y  | _ | no �prf
  65 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p    | just h'   | just .x | Reveal_is_.[_] p' | yes refl = begin
  66   lookupM i h
  67     ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (sym p)) ⟩
  68   lookupM i h'
  69     ≡⟨ p' ⟩
  70   just x ∎
  71
  72 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → assoc eq is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
  73 lemma-2 eq []       []       h p = refl
  74 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
  75 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
  76 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p = begin
  77   map (flip lookupM h) (i ∷ is)
  78     ≡⟨ refl ⟩
  79   lookup i h ∷ map (flip lookupM h) is
  80     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookup h) is)) (lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h p) ⟩
  81   just x ∷ map (flip lookupM h) is
  82     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 eq is xs h {!!}) ⟩
  83   just x ∷ map just xs
  84     ≡⟨ refl ⟩
  85   map just (x ∷ xs) ∎
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  87 idrange : (n : ℕ) → List (Fin n)
  88 idrange n = toList (tabulate id)
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  90 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
  91 bff get eq s v = let s′ = idrange (length s)
  92                      g  = fromFunc (λ f → lookupVec f (fromList s))
  93                      h  = assoc eq (get s′) v
  94                      h′ = fmap (flip union g) h
  95                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
  96
  97 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
  98 theorem-1 get eq s = {!!}