Bidir.agda

   1 open import Relation.Binary.Core using (Decidable ; _≡_)
   2
   3 module Bidir (Carrier : Set) (deq : Decidable {A = Carrier} _≡_) where
   4
   5 open import Data.Nat using (ℕ)
   6 open import Data.Fin using (Fin)
   7 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
   8 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
   9 open import Data.List using (List)
  10 open import Data.List.Any using (Any ; any ; here ; there)
  11 open import Data.List.All using (All)
  12 open Data.List.Any.Membership-≡ using (_∈_ ; _∉_)
  13 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; toList ; fromList ; map ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec)
  14 open import Data.Vec.Properties using (tabulate-∘ ; lookup∘tabulate ; map-cong ; map-∘)
  15 open import Data.Product using (∃ ; _×_ ; _,_ ; proj₁ ; proj₂)
  16 open import Data.Empty using (⊥-elim)
  17 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
  18 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
  19 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
  20 open import Relation.Binary.Core using (refl)
  21 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; [_] ; _≗_ ; trans)
  22 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
  23
  24 import FreeTheorems
  25 open FreeTheorems.VecVec using (get-type ; free-theorem)
  26 open import FinMap
  27 import CheckInsert
  28 open CheckInsert Carrier deq
  29 open import BFF using (_>>=_ ; fmap)
  30 open BFF.VecBFF Carrier deq using (assoc ; enumerate ; denumerate ; bff)
  31
  32 lemma-1 : {m n : ℕ} → (f : Fin n → Carrier) → (is : Vec (Fin n) m) → assoc is (map f is) ≡ just (restrict f (toList is))
  33 lemma-1 f []        = refl
  34 lemma-1 f (i ∷ is′) = begin
  35   assoc is′ (map f is′) >>= checkInsert i (f i)
  36     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert i (f i)) (lemma-1 f is′) ⟩
  37   checkInsert i (f i) (restrict f (toList is′))
  38     ≡⟨ lemma-checkInsert-restrict f i (toList is′) ⟩
  39   just (restrict f (toList (i ∷ is′))) ∎
  40
  41 lemma-lookupM-assoc : {m n : ℕ} → (i : Fin n) → (is : Vec (Fin n) m) → (x : Carrier) → (xs : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
  42 lemma-lookupM-assoc i is x xs h    p with assoc is xs
  43 lemma-lookupM-assoc i is x xs h    () | nothing
  44 lemma-lookupM-assoc i is x xs h    p | just h' = apply-checkInsertProof i x h' record
  45   { same  = λ lookupM≡justx → begin
  46       lookupM i h
  47         ≡⟨ cong (lookupM i) (just-injective (trans (sym p) (lemma-checkInsert-same i x h' lookupM≡justx))) ⟩
  48       lookupM i h'
  49         ≡⟨ lookupM≡justx ⟩
  50       just x ∎
  51   ; new   = λ lookupM≡nothing → begin
  52       lookupM i h
  53         ≡⟨ cong (lookupM i) (just-injective (trans (sym p) (lemma-checkInsert-new i x h' lookupM≡nothing))) ⟩
  54       lookupM i (insert i x h')
  55         ≡⟨ lemma-lookupM-insert i x h' ⟩
  56       just x ∎
  57   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → lemma-just≢nothing (trans (sym p) (lemma-checkInsert-wrong i x h' x' x≢x' lookupM≡justx'))
  58   }
  59
  60 lemma-∉-lookupM-assoc : {m n : ℕ} → (i : Fin n) → (is : Vec (Fin n) m) → (xs : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc is xs ≡ just h → (i ∉ toList is) → lookupM i h ≡ nothing
  61 lemma-∉-lookupM-assoc i []         []         h ph i∉is = begin
  62   lookupM i h
  63     ≡⟨ cong (lookupM i) (sym (just-injective ph)) ⟩
  64   lookupM i empty
  65     ≡⟨ lemma-lookupM-empty i ⟩
  66   nothing ∎
  67 lemma-∉-lookupM-assoc i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is with assoc is' xs' | inspect (assoc is') xs'
  68 lemma-∉-lookupM-assoc i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () i∉is | nothing | [ ph' ]
  69 lemma-∉-lookupM-assoc i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | just h' | [ ph' ] = apply-checkInsertProof i' x' h' record {
  70     same = λ lookupM-i'-h'≡just-x' → begin
  71       lookupM i h
  72         ≡⟨ cong (lookupM i) (just-injective (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-same i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x'))) ⟩
  73       lookupM i h'
  74         ≡⟨ lemma-∉-lookupM-assoc i is' xs' h' ph' (i∉is ∘ there) ⟩
  75       nothing ∎
  76   ; new = λ lookupM-i'-h'≡nothing → begin
  77       lookupM i h
  78         ≡⟨ cong (lookupM i)  (just-injective (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-new i' x' h' lookupM-i'-h'≡nothing))) ⟩
  79       lookupM i (insert i' x' h')
  80         ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i i' x' h' (i∉is ∘ here)) ⟩
  81       lookupM i h'
  82         ≡⟨ lemma-∉-lookupM-assoc i is' xs' h' ph' (i∉is ∘ there) ⟩
  83       nothing ∎
  84   ; wrong = λ x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x'' → lemma-just≢nothing (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-wrong i' x' h' x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x''))
  85   }
  86
  87 _in-domain-of_ : {n : ℕ} {A : Set} → (is : List (Fin n)) → (FinMapMaybe n A) → Set
  88 _in-domain-of_ is h = All (λ i → ∃ λ x → lookupM i h ≡ just x) is
  89
  90 lemma-assoc-domain : {m n : ℕ} → (is : Vec (Fin n) m) → (xs : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc is xs ≡ just h → (toList is) in-domain-of h
  91 lemma-assoc-domain []         []         h ph = Data.List.All.[]
  92 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph with assoc is' xs' | inspect (assoc is') xs'
  93 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () | nothing | [ ph' ]
  94 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph | just h' | [ ph' ] = apply-checkInsertProof i' x' h' record {
  95     same = λ lookupM-i'-h'≡just-x' → Data.List.All._∷_
  96       (x' , (trans (cong (lookupM i') (just-injective (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-same i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x')))) lookupM-i'-h'≡just-x'))
  97       (lemma-assoc-domain is' xs' h (trans ph' (trans (sym (lemma-checkInsert-same i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x')) ph)))
  98   ; new  = λ lookupM-i'-h'≡nothing → Data.List.All._∷_
  99       (x' , (trans (cong (lookupM i') (just-injective (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-new i' x' h' lookupM-i'-h'≡nothing)))) (lemma-lookupM-insert i' x' h')))
 100       (Data.List.All.map
 101         (λ {i} p → proj₁ p , lemma-lookupM-checkInsert i i' (proj₁ p) x' h' h (proj₂ p) ph)
 102         (lemma-assoc-domain is' xs' h' ph'))
 103   ; wrong = λ x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x'' → lemma-just≢nothing (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-wrong i' x' h' x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x''))
 104   }
 105
 106 lemma-map-lookupM-insert : {m n : ℕ} → (i : Fin n) → (is : Vec (Fin n) m) → (x : Carrier) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → i ∉ (toList is) → map (flip lookupM (insert i x h)) is ≡ map (flip lookupM h) is
 107 lemma-map-lookupM-insert i []         x h i∉is = refl
 108 lemma-map-lookupM-insert i (i' ∷ is') x h i∉is = begin
 109   lookupM i' (insert i x h) ∷ map (flip lookupM (insert i x h)) is'
 110     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookupM (insert i x h)) is')) (sym (lemma-lookupM-insert-other i' i x h (i∉is ∘ here ∘ sym))) ⟩
 111   lookupM i' h ∷ map (flip lookupM (insert i x h)) is'
 112     ≡⟨ cong (_∷_ (lookupM i' h)) (lemma-map-lookupM-insert i is' x h (i∉is ∘ there)) ⟩
 113   lookupM i' h ∷ map (flip lookupM h) is' ∎
 114
 115 lemma-map-lookupM-assoc : {m n : ℕ} → (i : Fin n) → (is : Vec (Fin n) m) → (x : Carrier) → (xs : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → (h' : FinMapMaybe n Carrier) → assoc is xs ≡ just h' → checkInsert i x h' ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map (flip lookupM h') is
 116 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ph' ph with any (_≟_ i) (toList is)
 117 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ph' ph | yes p with Data.List.All.lookup (lemma-assoc-domain is xs h' ph') p
 118 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ph' ph | yes p | (x'' , p') with lookupM i h'
 119 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ph' ph | yes p | (x'' , refl) | .(just x'') with deq x x''
 120 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h .h ph' refl | yes p | (.x , refl) | .(just x)  | yes refl = refl
 121 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ph' () | yes p | (x'' , refl) | .(just x'') | no �p
 122 lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ph' ph | no ¬p rewrite lemma-∉-lookupM-assoc i is xs h' ph' ¬p = begin
 123   map (flip lookupM h) is
 124     ≡⟨ map-cong (λ i'' → cong (lookupM i'') (just-injective (sym ph))) is ⟩
 125   map (flip lookupM (insert i x h')) is
 126     ≡⟨ lemma-map-lookupM-insert i is x h' ¬p ⟩
 127   map (flip lookupM h') is ∎
 128
 129 lemma-2 : {m n : ℕ} → (is : Vec (Fin n) m) → (v : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
 130 lemma-2 []       []       h p = refl
 131 lemma-2 (i ∷ is) (x ∷ xs) h p with assoc is xs | inspect (assoc is) xs
 132 lemma-2 (i ∷ is) (x ∷ xs) h () | nothing | _
 133 lemma-2 (i ∷ is) (x ∷ xs) h p | just h' | [ ir ] = begin
 134   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is
 135     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookupM h) is)) (lemma-lookupM-assoc i is x xs h (begin
 136       assoc (i ∷ is) (x ∷ xs)
 137         ≡⟨ cong (flip _>>=_ (checkInsert i x)) ir ⟩
 138       checkInsert i x h'
 139         ≡⟨ p ⟩
 140       just h ∎) ) ⟩
 141   just x ∷ map (flip lookupM h) is
 142     ≡⟨  cong (_∷_ (just x)) (lemma-map-lookupM-assoc i is x xs h h' ir p) ⟩
 143   just x ∷ map (flip lookupM h') is
 144     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 is xs h' ir) ⟩
 145   just x ∷ map just xs ∎
 146
 147 lemma-map-denumerate-enumerate : {m : ℕ} → (as : Vec Carrier m) → map (denumerate as) (enumerate as) ≡ as
 148 lemma-map-denumerate-enumerate []       = refl
 149 lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
 150   map (flip lookupVec (a ∷ as)) (tabulate Fin.suc)
 151     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷ as))) (tabulate-∘ Fin.suc id) ⟩
 152   map (flip lookupVec (a ∷ as)) (map Fin.suc (tabulate id))
 153     ≡⟨ refl ⟩
 154   map (flip lookupVec (a ∷ as)) (map Fin.suc (enumerate as))
 155     ≡⟨ sym (map-∘ _ _ (enumerate as)) ⟩
 156   map (flip lookupVec (a ∷ as) ∘ Fin.suc) (enumerate as)
 157     ≡⟨ refl ⟩
 158   map (denumerate as) (enumerate as)
 159     ≡⟨ lemma-map-denumerate-enumerate as ⟩
 160   as ∎)
 161
 162 theorem-1 : {getlen : ℕ → ℕ} → (get : get-type getlen) → {m : ℕ} → (s : Vec Carrier m) → bff get s (get s) ≡ just s
 163 theorem-1 get s = begin
 164   bff get s (get s)
 165     ≡⟨ cong (bff get s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
 166   bff get s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
 167     ≡⟨ cong (bff get s) (free-theorem get (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
 168   bff get s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
 169     ≡⟨ refl ⟩
 170   (h′↦r ∘ h↦h′) (assoc (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s))))
 171     ≡⟨ cong (h′↦r ∘ h↦h′) (lemma-1 (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
 172   (h′↦r ∘ h↦h′ ∘ just) (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s))))
 173     ≡⟨ refl ⟩
 174   (h′↦r ∘ just) (union (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s)))) (fromFunc (denumerate s)))
 175     ≡⟨ cong (h′↦r ∘ just) (lemma-union-restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s)))) ⟩
 176   (h′↦r ∘ just) (fromFunc (denumerate s))
 177     ≡⟨ refl ⟩
 178   just (map (flip lookup (fromFunc (denumerate s))) (enumerate s))
 179     ≡⟨ cong just (map-cong (lookup∘tabulate (denumerate s)) (enumerate s)) ⟩
 180   just (map (denumerate s) (enumerate s))
 181     ≡⟨ cong just (lemma-map-denumerate-enumerate s) ⟩
 182   just s ∎
 183     where h↦h′ = fmap (flip union (fromFunc (denumerate s)))
 184           h′↦r = fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookupVec)
 185
 186 lemma-fmap-just : {A B : Set} {f : A → B} {b : B} {ma : Maybe A} → fmap f ma ≡ just b → ∃ λ a → ma ≡ just a
 187 lemma-fmap-just {ma = just x}  fmap-f-ma≡just-b = x , refl
 188 lemma-fmap-just {ma = nothing} ()
 189
 190 ∷-injective : {A : Set} {n : ℕ} {x y : A} {xs ys : Vec A n} → (x ∷ xs) ≡ (y ∷ ys) → x ≡ y × xs ≡ ys
 191 ∷-injective refl = refl , refl
 192
 193 map-just-injective : {A : Set} {n : ℕ} {xs ys : Vec A n} → map Maybe.just xs ≡ map Maybe.just ys → xs ≡ ys
 194 map-just-injective {xs = []}      {ys = []}       p  = refl
 195 map-just-injective {xs = x ∷ xs'} {ys = y ∷ ys'}  p with ∷-injective p
 196 map-just-injective {xs = x ∷ xs'} {ys = .x ∷ ys'} p | refl , p' = cong (_∷_ x) (map-just-injective p')
 197
 198 lemma-union-not-used : {m n : ℕ} {A : Set} (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMap n A) → (is : Vec (Fin n) m) → (toList is) in-domain-of h → map just (map (flip lookup (union h h')) is) ≡ map (flip lookupM h) is
 199 lemma-union-not-used h h' []        p = refl
 200 lemma-union-not-used h h' (i ∷ is') p with Data.List.All.head p
 201 lemma-union-not-used h h' (i ∷ is') p | x , lookupM-i-h≡just-x = begin
 202   just (lookup i (union h h')) ∷ map just (map (flip lookup (union h h')) is')
 203     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map just (map (flip lookup (union h h')) is'))) (begin
 204       just (lookup i (union h h'))
 205         ≡⟨ cong just (lookup∘tabulate (λ j → maybe′ id (lookup j h') (lookupM j h)) i) ⟩
 206       just (maybe′ id (lookup i h') (lookupM i h))
 207         ≡⟨ cong just (cong (maybe′ id (lookup i h')) lookupM-i-h≡just-x) ⟩
 208       just (maybe′ id (lookup i h') (just x))
 209         ≡⟨ refl ⟩
 210       just x
 211         ≡⟨ sym lookupM-i-h≡just-x ⟩
 212       lookupM i h ∎) ⟩
 213   lookupM i h ∷ map just (map (flip lookup (union h h')) is')
 214     ≡⟨ cong (_∷_ (lookupM i h)) (lemma-union-not-used h h' is' (Data.List.All.tail p)) ⟩
 215   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is' ∎
 216
 217 theorem-2 : {getlen : ℕ → ℕ} (get : get-type getlen) → {m : ℕ} → (v : Vec Carrier (getlen m)) → (s u : Vec Carrier m) → bff get s v ≡ just u → get u ≡ v
 218 theorem-2 get v s u p with lemma-fmap-just (proj₂ (lemma-fmap-just p))
 219 theorem-2 get v s u p | h , ph = begin
 220   get u
 221     ≡⟨ just-injective (begin
 222       fmap get (just u)
 223         ≡⟨ cong (fmap get) (sym p) ⟩
 224       fmap get (bff get s v)
 225         ≡⟨ cong (fmap get ∘ fmap h′↦r ∘ fmap h↦h′) ph ⟩
 226       fmap get (fmap h′↦r (fmap h↦h′ (just h))) ∎) ⟩
 227   get (map (flip lookup (h↦h′ h)) s′)
 228     ≡⟨ free-theorem get (flip lookup (h↦h′ h)) s′ ⟩
 229   map (flip lookup (h↦h′ h)) (get s′)
 230      ≡⟨ map-just-injective (begin
 231        map just (map (flip lookup (union h g)) (get s′))
 232          ≡⟨ lemma-union-not-used h g (get s′) (lemma-assoc-domain (get s′) v h ph) ⟩
 233        map (flip lookupM h) (get s′)
 234          ≡⟨ lemma-2 (get s′) v h ph ⟩
 235        map just v
 236          ∎) ⟩
 237   v ∎
 238     where s′   = enumerate s
 239           g    = fromFunc (denumerate s)
 240           h↦h′ = flip union g
 241           h′↦r = flip map s′ ∘ flip lookupVec