Bidir.agda

   1 module Bidir where
   2
   3 open import Data.Bool hiding (_≟_)
   4 open import Data.Nat
   5 open import Data.Fin
   6 open import Data.Fin.Props renaming (_≟_ to _≟F_)
   7 open import Data.Maybe
   8 open import Data.List hiding (replicate)
   9 open import Data.Vec hiding (map ; zip ; _>>=_) renaming (lookup to lookupVec)
  10 open import Data.Product hiding (zip ; map)
  11 open import Function
  12 open import Relation.Nullary
  13 open import Relation.Nullary.Negation
  14 open import Relation.Binary.Core
  15 open import Relation.Binary.PropositionalEquality
  16 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning
  17
  18 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
  19 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
  20
  21 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
  22 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
  23
  24 module FinMap where
  25
  26   FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
  27   FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
  28
  29   lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
  30   lookupM = lookupVec
  31
  32   insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
  33   insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
  34
  35   empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
  36   empty = replicate nothing
  37
  38   fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
  39   fromAscList []             = empty
  40   fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
  41
  42   FinMap : ℕ → Set → Set
  43   FinMap n A = Vec A n
  44
  45   lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
  46   lookup = lookupVec
  47
  48   fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
  49   fromFunc = tabulate
  50
  51   union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
  52   union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
  53
  54 open FinMap
  55
  56 EqInst : Set → Set
  57 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
  58
  59 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  60 checkInsert eq i b m with lookupM i m
  61 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
  62 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
  63 checkInsert eq i b m | just c  | no �p    = nothing
  64 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
  65
  66 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  67 assoc _  []       []       = just empty
  68 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
  69 assoc _  _        _        = nothing
  70
  71 generate : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
  72 generate f is = fromAscList (zip is (map f is))
  73
  74 lemma-insert-same : {τ : Set} {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n τ) → (f : Fin n) → (a : τ) → lookupM f m ≡ just a → m ≡ insert f a m
  75 lemma-insert-same []               ()      a p
  76 lemma-insert-same (.(just a) ∷ xs) zero    a refl = refl
  77 lemma-insert-same (x ∷ xs)         (suc i) a p    = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
  78
  79 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → lookupM {A} i empty ≡ nothing
  80 lemma-lookupM-empty zero    = refl
  81 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
  82
  83 lemma-from-just : {A : Set} → {x y : A} → _≡_ {_} {Maybe A} (just x) (just y) → x ≡ y
  84 lemma-from-just refl = refl
  85
  86 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i (insert i a m) ≡ just a
  87 lemma-lookupM-insert zero    _ (_ ∷ _)  = refl
  88 lemma-lookupM-insert (suc i) a (_ ∷ xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
  89
  90 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : ℕ} → (i j : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → ¬(i ≡ j) → lookupM i m ≡ lookupM i (insert j a m)
  91 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m p = contradiction refl p
  92 lemma-lookupM-insert-other zero (suc j) a (x ∷ xs) p = refl
  93 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero a (x ∷ xs) p = refl
  94 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (contraposition (cong suc) p)
  95
  96 lemma-lookupM-generate : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → (a : A) → lookupM i (generate f is) ≡ just a → f i ≡ a
  97 lemma-lookupM-generate {A} i f [] a p with begin
  98   just a
  99     ≡⟨ sym p ⟩
 100   lookupM i (generate f [])
 101     ≡⟨ refl ⟩
 102   lookupM i empty
 103     ≡⟨ lemma-lookupM-empty i ⟩
 104   nothing ∎
 105 lemma-lookupM-generate i f [] a p | ()
 106 lemma-lookupM-generate i f (i' ∷ is) a p with i ≟F i'
 107 lemma-lookupM-generate i f (.i ∷ is) a p | yes refl = lemma-from-just (begin
 108    just (f i)
 109      ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (generate f is)) ⟩
 110    lookupM i (insert i (f i) (generate f is))
 111      ≡⟨ refl ⟩
 112    lookupM i (generate f (i ∷ is))
 113      ≡⟨ p ⟩
 114    just a ∎)
 115 lemma-lookupM-generate i f (i' ∷ is) a p | no ¬p2 = lemma-lookupM-generate i f is a (begin
 116   lookupM i (generate f is)
 117     ≡⟨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (generate f is) ¬p2 ⟩
 118   lookupM i (insert i' (f i') (generate f is))
 119     ≡⟨ refl ⟩
 120   lookupM i (generate f (i' ∷ is))
 121     ≡⟨ p ⟩
 122   just a ∎)
 123
 124 lemma-checkInsert-generate : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (generate f is) ≡ just (generate f (i ∷ is))
 125 lemma-checkInsert-generate eq f i is with lookupM i (generate f is) | inspect (lookupM i) (generate f is)
 126 lemma-checkInsert-generate eq f i is | nothing | _ = refl
 127 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x | Reveal_is_.[_] prf with lemma-lookupM-generate i f is x prf
 128 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl with eq (f i) (f i)
 129 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | yes refl = cong just (lemma-insert-same (generate f is) i (f i) prf)
 130 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] prf | refl | no �p = contradiction refl �p
 131
 132 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (generate f is)
 133 lemma-1 eq f []        = refl
 134 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
 135   (assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′)))
 136     ≡⟨ refl ⟩
 137   (assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i))
 138     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
 139   (just (generate f is′) >>= (checkInsert eq i (f i)))
 140     ≡⟨ refl ⟩
 141   (checkInsert eq i (f i) (generate f is′))
 142     ≡⟨ lemma-checkInsert-generate eq f i is′ ⟩
 143   just (generate f (i ∷ is′)) ∎
 144
 145 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → just h ≡ assoc eq is v → map (flip lookup h) is ≡ map just v
 146 lemma-2 eq []       []       h p = refl
 147 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
 148 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
 149 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p = {!!}
 150
 151 idrange : (n : ℕ) → List (Fin n)
 152 idrange n = toList (tabulate id)
 153
 154 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
 155 bff get eq s v = let s′ = idrange (length s)
 156                      g  = fromFunc (λ f → lookupVec f (fromList s))
 157                      h  = assoc eq (get s′) v
 158                      h′ = fmap (flip union g) h
 159                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
 160
 161 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
 162 theorem-1 get eq s = {!!}