Bidir.agda

   1 module Bidir where
   2
   3 open import Data.Nat using (ℕ)
   4 open import Data.Fin using (Fin)
   5 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
   6 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
   7 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; length)
   8 open import Data.List.Properties using (map-cong ; ∷-injective) renaming (map-compose to map-∘)
   9 open import Data.List.Any using (Any ; any ; here ; there)
  10 open import Data.List.All using (All)
  11 open Data.List.Any.Membership-≡ using (_∈_ ; _∉_)
  12 open import Data.Vec using (toList ; fromList ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec ; _∷_ to _∷V_)
  13 open import Data.Vec.Properties using (tabulate-∘ ; lookup∘tabulate)
  14 open import Data.Product using (∃ ; _,_ ; proj₁ ; proj₂)
  15 open import Data.Empty using (⊥-elim)
  16 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
  17 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no ; �_)
  18 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
  19 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
  20 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; Reveal_is_ ; _≗_ ; trans)
  21 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
  22
  23 open import FinMap
  24
  25 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
  26 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
  27
  28 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
  29 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
  30
  31 EqInst : Set → Set
  32 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
  33
  34 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  35 checkInsert eq i b m with lookupM i m
  36 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
  37 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
  38 checkInsert eq i b m | just c  | no �p    = nothing
  39 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
  40 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
  41 assoc _  []       []       = just empty
  42 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
  43 assoc _  _        _        = nothing
  44
  45 record checkInsertProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (P : Set) : Set where
  46   field
  47      same : lookupM i m ≡ just x → P
  48      new : lookupM i m ≡ nothing → P
  49      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x'  → P
  50
  51 apply-checkInsertProof : {A P : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → checkInsertProof eq i x m P → P
  52 apply-checkInsertProof eq i x m rp with lookupM i m | inspect (lookupM i) m
  53 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | il with eq x x'
  54 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just .x | Reveal_is_.[_] il | yes refl = checkInsertProof.same rp il
  55 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | Reveal_is_.[_] il | no x≢x' = checkInsertProof.wrong rp x' x≢x' il
  56 apply-checkInsertProof eq i x m rp | nothing | Reveal_is_.[_] il = checkInsertProof.new rp il
  57
  58 lemma-checkInsert-same : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ just x → checkInsert eq i x m ≡ just m
  59 lemma-checkInsert-same eq i x m p with lookupM i m
  60 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) with eq x x
  61 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | yes refl = refl
  62 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | no x≢x = contradiction refl x≢x
  63
  64 lemma-checkInsert-new : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ nothing → checkInsert eq i x m ≡ just (insert i x m)
  65 lemma-checkInsert-new eq i x m p with lookupM i m
  66 lemma-checkInsert-new eq i x m refl | .nothing = refl
  67
  68 lemma-checkInsert-wrong : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → checkInsert eq i x m ≡ nothing
  69 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d p with lookupM i m
  70 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') with eq x x'
  71 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | yes q = contradiction q d
  72 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | no �q = refl
  73
  74 record checkInsertEqualProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (e : Maybe (FinMapMaybe n A)) : Set where
  75   field
  76      same : lookupM i m ≡ just x → just m ≡ e
  77      new : lookupM i m ≡ nothing → just (insert i x m) ≡ e
  78      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → nothing ≡ e
  79
  80 lift-checkInsertProof : {A : Set} {n : ℕ} {eq : EqInst A} {i : Fin n} {x : A} {m : FinMapMaybe n A} {e : Maybe (FinMapMaybe n A)} → checkInsertEqualProof eq i x m e → checkInsertProof eq i x m (checkInsert eq i x m ≡ e)
  81 lift-checkInsertProof {_} {_} {eq} {i} {x} {m} o = record
  82   { same  = λ p → trans (lemma-checkInsert-same eq i x m p) (checkInsertEqualProof.same o p)
  83   ; new   = λ p → trans (lemma-checkInsert-new eq i x m p) (checkInsertEqualProof.new o p)
  84   ; wrong = λ x' q p → trans (lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' q p) (checkInsertEqualProof.wrong o x' q p)
  85   }
  86
  87 lemma-checkInsert-restrict : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (restrict f is) ≡ just (restrict f (i ∷ is))
  88 lemma-checkInsert-restrict {τ} eq f i is = apply-checkInsertProof eq i (f i) (restrict f is) (lift-checkInsertProof record
  89   { same  = λ lookupM≡justx → cong just (lemma-insert-same (restrict f is) i (f i) lookupM≡justx)
  90   ; new   = λ lookupM≡nothing → refl
  91   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → contradiction (lemma-lookupM-restrict i f is x' lookupM≡justx') x≢x'
  92   })
  93
  94 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (restrict f is)
  95 lemma-1 eq f []        = refl
  96 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
  97   assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′))
  98     ≡⟨ refl ⟩
  99   assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i)
 100     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
 101   just (restrict f is′) >>= (checkInsert eq i (f i))
 102     ≡⟨ refl ⟩
 103   checkInsert eq i (f i) (restrict f is′)
 104     ≡⟨ lemma-checkInsert-restrict eq f i is′ ⟩
 105   just (restrict f (i ∷ is′)) ∎
 106
 107 lemma-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
 108 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p with assoc eq is xs
 109 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    () | nothing
 110 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p | just h' = apply-checkInsertProof eq i x h' record
 111   { same  = λ lookupM≡justx → begin
 112       lookupM i h
 113         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym p) (lemma-checkInsert-same eq i x h' lookupM≡justx))) ⟩
 114       lookupM i h'
 115         ≡⟨ lookupM≡justx ⟩
 116       just x ∎
 117   ; new   = λ lookupM≡nothing → begin
 118       lookupM i h
 119         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym p) (lemma-checkInsert-new eq i x h' lookupM≡nothing))) ⟩
 120       lookupM i (insert i x h')
 121         ≡⟨ lemma-lookupM-insert i x h' ⟩
 122       just x ∎
 123   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → lemma-just≢nothing (trans (sym p) (lemma-checkInsert-wrong eq i x h' x' x≢x' lookupM≡justx'))
 124   }
 125
 126 lemma-lookupM-checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i j : Fin n) → (x y : A) → (h h' : FinMapMaybe n A) → lookupM i h ≡ just x → checkInsert eq j y h ≡ just h' → lookupM i h' ≡ just x
 127 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' with lookupM j h | inspect (lookupM j) h
 128 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h .(insert j y h) pl refl | nothing | pl' with i ≟ j
 129 lemma-lookupM-checkInsert eq i .i x y h .(insert i y h) pl refl | nothing | Reveal_is_.[_] pl' | yes refl with begin just x ≡⟨ sym pl ⟩ lookupM i h ≡⟨ pl' ⟩ nothing ∎
 130 ... | ()
 131 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h .(insert j y h) pl refl | nothing | pl' | no �p = begin
 132   lookupM i (insert j y h)
 133     ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i j y h ¬p) ⟩
 134   lookupM i h
 135     ≡⟨ pl ⟩
 136   just x ∎
 137 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' | just z | pl' with eq y z
 138 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' | just .y | pl' | yes refl = begin
 139   lookupM i h'
 140     ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (sym ph')) ⟩
 141   lookupM i h
 142     ≡⟨ pl ⟩
 143   just x ∎
 144 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl () | just z | pl' | no �p
 145
 146 lemma-∉-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq is xs ≡ just h → (i ∉ is) → lookupM i h ≡ nothing
 147 lemma-∉-lookupM-assoc eq i []         []         h ph i∉is = begin
 148   lookupM i h
 149     ≡⟨ cong (lookupM i) (sym (lemma-from-just ph)) ⟩
 150   lookupM i empty
 151     ≡⟨ lemma-lookupM-empty i ⟩
 152   nothing ∎
 153 lemma-∉-lookupM-assoc eq i []         (x' ∷ xs') h () i∉is
 154 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') []         h () i∉is
 155 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is with i ≟ i'
 156 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | yes p = contradiction (here p) i∉is
 157 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | no ¬p with assoc eq is' xs' | inspect (assoc eq is') xs'
 158 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () i∉is | no ¬p | nothing | Reveal_is_.[_] ph'
 159 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | no ¬p | just h' | Reveal_is_.[_] ph' = apply-checkInsertProof eq i' x' h' record {
 160     same = λ lookupM-i'-h'≡just-x' → begin
 161       lookupM i h
 162         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-same eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x'))) ⟩
 163       lookupM i h'
 164         ≡⟨ lemma-∉-lookupM-assoc eq i is' xs' h' ph' (i∉is ∘ there) ⟩
 165       nothing ∎
 166   ; new = λ lookupM-i'-h'≡nothing → begin
 167       lookupM i h
 168         ≡⟨ cong (lookupM i)  (lemma-from-just (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-new eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡nothing))) ⟩
 169       lookupM i (insert i' x' h')
 170         ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i i' x' h' ¬p) ⟩
 171       lookupM i h'
 172         ≡⟨ lemma-∉-lookupM-assoc eq i is' xs' h' ph' (i∉is ∘ there) ⟩
 173       nothing ∎
 174   ; wrong = λ x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x'' → lemma-just≢nothing (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-wrong eq i' x' h' x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x''))
 175   }
 176
 177 _in-domain-of_ : {n : ℕ} {A : Set} → (is : List (Fin n)) → (FinMapMaybe n A) → Set
 178 _in-domain-of_ is h = All (λ i → ∃ λ x → lookupM i h ≡ just x) is
 179
 180 lemma-assoc-domain : {n : ℕ} {A : Set} → (eq : EqInst A) → (is : List (Fin n)) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq is xs ≡ just h → is in-domain-of h
 181 lemma-assoc-domain eq []  []  h  ph  = Data.List.All.[]
 182 lemma-assoc-domain eq [] (x' ∷ xs') h ()
 183 lemma-assoc-domain eq (i' ∷ is') [] h ()
 184 lemma-assoc-domain eq (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph with assoc eq is' xs' | inspect (assoc eq is') xs'
 185 lemma-assoc-domain eq (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () | nothing | ph'
 186 lemma-assoc-domain eq (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph | just h' | Reveal_is_.[_] ph' = apply-checkInsertProof eq i' x' h' record {
 187     same = λ lookupM-i'-h'≡just-x' → Data.List.All._∷_
 188       (x' , (trans (cong (lookupM i') (lemma-from-just (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-same eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x')))) lookupM-i'-h'≡just-x'))
 189       (lemma-assoc-domain eq is' xs' h (trans ph' (trans (sym (lemma-checkInsert-same eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x')) ph)))
 190   ; new  = λ lookupM-i'-h'≡nothing → Data.List.All._∷_
 191       (x' , (trans (cong (lookupM i') (lemma-from-just (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-new eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡nothing)))) (lemma-lookupM-insert i' x' h')))
 192       (Data.List.All.map
 193         (λ {i} p → proj₁ p , lemma-lookupM-checkInsert eq i i' (proj₁ p) x' h' h (proj₂ p) ph)
 194         (lemma-assoc-domain eq is' xs' h' ph'))
 195   ; wrong = λ x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x'' → lemma-just≢nothing (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-wrong eq i' x' h' x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x''))
 196   }
 197
 198 lemma-map-lookupM-insert : {n : ℕ} {A : Set} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (h : FinMapMaybe n A) → ¬(i ∈ is) → is in-domain-of h → map (flip lookupM (insert i x h)) is ≡ map (flip lookupM h) is
 199 lemma-map-lookupM-insert eq i []         x h i∉is ph = refl
 200 lemma-map-lookupM-insert eq i (i' ∷ is') x h i∉is ph = begin
 201   lookupM i' (insert i x h) ∷ map (flip lookupM (insert i x h)) is'
 202     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookupM (insert i x h)) is')) (sym (lemma-lookupM-insert-other i' i x h (i∉is ∘ here ∘ sym))) ⟩
 203   lookupM i' h ∷ map (flip lookupM (insert i x h)) is'
 204     ≡⟨ cong (_∷_ (lookupM i' h)) (lemma-map-lookupM-insert eq i is' x h (i∉is ∘ there) (Data.List.All.tail ph)) ⟩
 205   lookupM i' h ∷ map (flip lookupM h) is' ∎
 206
 207 lemma-map-lookupM-assoc : {n : ℕ} {A : Set} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMapMaybe n A) → assoc eq is xs ≡ just h' → checkInsert eq i x h' ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map (flip lookupM h') is
 208 lemma-map-lookupM-assoc eq i []         x []         h h' ph' ph = refl
 209 lemma-map-lookupM-assoc eq i []         x (x' ∷ xs') h h' ()  ph
 210 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x []         h h' ()  ph
 211 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph with any (_≟_ i) (i' ∷ is')
 212 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | yes p with Data.List.All.lookup (lemma-assoc-domain eq (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h' ph') p
 213 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | yes p | (x'' , p') with lookupM i h'
 214 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | yes p | (x'' , refl) | .(just x'') with eq x x''
 215 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h .h ph' refl | yes p | (.x , refl) | .(just x)  | yes refl = refl
 216 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' () | yes p | (x'' , refl) | .(just x'') | no ¬p
 217 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | no ¬p with lookupM i h' | lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h' ph' ¬p
 218 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | no ¬p | .nothing | refl = begin
 219   map (flip lookupM h) (i' ∷ is')
 220     ≡⟨ map-cong (λ i'' → cong (lookupM i'') (lemma-from-just (sym ph))) (i' ∷ is') ⟩
 221   map (flip lookupM (insert i x h')) (i' ∷ is')
 222     ≡⟨ lemma-map-lookupM-insert eq i (i' ∷ is') x h' ¬p (lemma-assoc-domain eq (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h' ph') ⟩
 223   map (flip lookupM h') (i' ∷ is') ∎
 224
 225 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → assoc eq is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
 226 lemma-2 eq []       []       h p = refl
 227 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
 228 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
 229 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p with assoc eq is xs | inspect (assoc eq is) xs
 230 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h () | nothing | _
 231 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p | just h' | Reveal_is_.[_] ir = begin
 232   map (flip lookupM h) (i ∷ is)
 233     ≡⟨ refl ⟩
 234   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is
 235     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookup h) is)) (lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h (begin
 236       assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs)
 237         ≡⟨ cong (flip _>>=_ (checkInsert eq i x)) ir ⟩
 238       checkInsert eq i x h'
 239         ≡⟨ p ⟩
 240       just h ∎) ) ⟩
 241   just x ∷ map (flip lookupM h) is
 242     ≡⟨  cong (_∷_ (just x)) (lemma-map-lookupM-assoc eq i is x xs h h' ir p) ⟩
 243   just x ∷ map (flip lookupM h') is
 244     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 eq is xs h' ir) ⟩
 245   just x ∷ map just xs
 246     ≡⟨ refl ⟩
 247   map just (x ∷ xs) ∎
 248
 249 enumerate : {A : Set} → (l : List A) → List (Fin (length l))
 250 enumerate l = toList (tabulate id)
 251
 252 denumerate : {A : Set} (l : List A) → Fin (length l) → A
 253 denumerate l = flip lookupVec (fromList l)
 254
 255 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
 256 bff get eq s v = let s′ = enumerate s
 257                      g  = fromFunc (denumerate s)
 258                      h  = assoc eq (get s′) v
 259                      h′ = fmap (flip union g) h
 260                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
 261
 262 postulate
 263   free-theorem-list-list : {β γ : Set} → (get : {α : Set} → List α → List α) → (f : β → γ) → get ∘ map f ≗ map f ∘ get
 264
 265 toList-map-commutes : {A B : Set} {n : ℕ} → (f : A → B) → (v : Data.Vec.Vec A n) → (toList (Data.Vec.map f v)) ≡ map f (toList v)
 266 toList-map-commutes f Data.Vec.[] = refl
 267 toList-map-commutes f (x ∷V xs) = cong (_∷_ (f x)) (toList-map-commutes f xs)
 268
 269 lemma-map-denumerate-enumerate : {A : Set} → (as : List A) → map (denumerate as) (enumerate as) ≡ as
 270 lemma-map-denumerate-enumerate [] = refl
 271 lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
 272   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (tabulate Fin.suc))
 273     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) ∘ toList) (tabulate-∘ Fin.suc id) ⟩
 274   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (Data.Vec.map Fin.suc (tabulate id)))
 275     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V fromList as))) (toList-map-commutes Data.Fin.suc (tabulate id)) ⟩
 276   map (flip lookupVec (a ∷V fromList as)) (map Fin.suc (enumerate as))
 277     ≡⟨ sym (map-∘ (enumerate as)) ⟩
 278   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as)) ∘ Fin.suc) (enumerate as)
 279     ≡⟨ refl ⟩
 280   map (denumerate as) (enumerate as)
 281     ≡⟨ lemma-map-denumerate-enumerate as ⟩
 282   as ∎)
 283
 284 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
 285 theorem-1 get eq s = begin
 286   bff get eq s (get s)
 287     ≡⟨ cong (bff get eq s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
 288   bff get eq s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
 289     ≡⟨ cong (bff get eq s) (free-theorem-list-list get (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
 290   bff get eq s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
 291     ≡⟨ refl ⟩
 292   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (denumerate s))) (assoc eq (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s)))))
 293     ≡⟨ cong (fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) ∘ fmap (flip union (fromFunc (denumerate s)))) (lemma-1 eq (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
 294   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (flip lookupVec (fromList s)))) (just (restrict (denumerate s) (get (enumerate s)))))
 295     ≡⟨ refl ⟩
 296   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (union (restrict (denumerate s) (get (enumerate s))) (fromFunc (denumerate s))))
 297     ≡⟨ cong just (cong (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (lemma-union-restrict (denumerate s) (get (enumerate s)))) ⟩
 298   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fromFunc (denumerate s)))
 299     ≡⟨ refl ⟩
 300   just (map (flip lookup (fromFunc (denumerate s))) (enumerate s))
 301     ≡⟨ cong just (map-cong (lookup∘tabulate (denumerate s)) (enumerate s)) ⟩
 302   just (map (denumerate s) (enumerate s))
 303     ≡⟨ cong just (lemma-map-denumerate-enumerate s) ⟩
 304   just s ∎
 305
 306 lemma-fmap-just : {A B : Set} → {f : A → B} {b : B} → (ma : Maybe A) → fmap f ma ≡ just b → ∃ λ a → ma ≡ just a
 307 lemma-fmap-just (just x) fmap-f-ma≡just-b = x , refl
 308 lemma-fmap-just nothing  ()
 309
 310 lemma-from-map-just : {A : Set} → {xs ys : List A} → map Maybe.just xs ≡ map Maybe.just ys → xs ≡ ys
 311 lemma-from-map-just {xs = []}      {ys = []}      p  = refl
 312 lemma-from-map-just {xs = []}      {ys = y ∷ ys'} ()
 313 lemma-from-map-just {xs = x ∷ xs'} {ys = []}      ()
 314 lemma-from-map-just {xs = x ∷ xs'} {ys = y ∷ ys'} p with ∷-injective p
 315 lemma-from-map-just {xs = x ∷ xs'} {ys = .x ∷ ys'} p | refl , p' = cong (_∷_ x) (lemma-from-map-just p')
 316
 317 lemma-union-not-used : {n : ℕ} {A : Set} (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMap n A) → (is : List (Fin n)) → is in-domain-of h → map just (map (flip lookup (union h h')) is) ≡ map (flip lookupM h) is
 318 lemma-union-not-used h h' []        p = refl
 319 lemma-union-not-used h h' (i ∷ is') p with Data.List.All.head p
 320 lemma-union-not-used h h' (i ∷ is') p | x , lookupM-i-h≡just-x = begin
 321   just (lookup i (union h h')) ∷ map just (map (flip lookup (union h h')) is')
 322     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map just (map (flip lookup (union h h')) is'))) (begin
 323       just (lookup i (union h h'))
 324         ≡⟨ cong just (lookup∘tabulate (λ j → maybe′ id (lookup j h') (lookupM j h)) i) ⟩
 325       just (maybe′ id (lookup i h') (lookupM i h))
 326         ≡⟨ cong just (cong (maybe′ id (lookup i h')) lookupM-i-h≡just-x) ⟩
 327       just (maybe′ id (lookup i h') (just x))
 328         ≡⟨ refl ⟩
 329       just x
 330         ≡⟨ sym lookupM-i-h≡just-x ⟩
 331       lookupM i h ∎) ⟩
 332   lookupM i h ∷ map just (map (flip lookup (union h h')) is')
 333     ≡⟨ cong (_∷_ (lookupM i h)) (lemma-union-not-used h h' is' (Data.List.All.tail p)) ⟩
 334   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is' ∎
 335
 336 theorem-2 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (v s u : List τ) → bff get eq s v ≡ just u → get u ≡ v
 337 theorem-2 get eq v s u p with lemma-fmap-just (assoc eq (get (enumerate s)) v) (proj₂ (lemma-fmap-just (fmap (flip union (fromFunc (denumerate s))) (assoc eq (get (enumerate s)) v)) p))
 338 theorem-2 get eq v s u p | h , ph = begin
 339   get u
 340     ≡⟨ lemma-from-just (begin
 341       just (get u)
 342         ≡⟨ refl ⟩
 343       fmap get (just u)
 344         ≡⟨ cong (fmap get) (sym p) ⟩
 345       fmap get (bff get eq s v)
 346         ≡⟨ cong (fmap get ∘ fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) ∘ fmap (flip union (fromFunc (denumerate s)))) ph ⟩
 347       fmap get (fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (denumerate s))) (just h)))
 348        ≡⟨ refl ⟩
 349      just (get (map (flip lookup (union h (fromFunc (denumerate s)))) (enumerate s)))
 350        ∎) ⟩
 351   get (map (flip lookup (union h (fromFunc (denumerate s)))) (enumerate s))
 352     ≡⟨ free-theorem-list-list get (flip lookup (union h (fromFunc (denumerate s)))) (enumerate s) ⟩
 353   map (flip lookup (union h (fromFunc (denumerate s)))) (get (enumerate s))
 354      ≡⟨ lemma-from-map-just (begin
 355        map just (map (flip lookup (union h (fromFunc (denumerate s)))) (get (enumerate s)))
 356          ≡⟨ lemma-union-not-used h (fromFunc (denumerate s)) (get (enumerate s)) (lemma-assoc-domain eq (get (enumerate s)) v h ph) ⟩
 357        map (flip lookupM h) (get (enumerate s))
 358          ≡⟨ lemma-2 eq (get (enumerate s)) v h ph ⟩
 359        map just v
 360          ∎) ⟩
 361   v ∎