complete the yes part of lemma-checkInsert-generate using inspect
[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 module Bidir where
2
3 open import Data.Bool hiding (_≟_)
4 open import Data.Nat
5 open import Data.Fin
6 open import Data.Maybe
7 open import Data.List hiding (replicate)
8 open import Data.Vec hiding (map ; zip ; _>>=_) renaming (lookup to lookupVec)
9 open import Data.Product hiding (zip ; map)
10 open import Function
11 open import Relation.Nullary
12 open import Relation.Binary.Core
13 open import Relation.Binary.PropositionalEquality
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15 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
16 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
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18 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
19 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
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21 module FinMap where
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23   FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
24   FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
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26   lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
27   lookupM = lookupVec
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29   insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
30   insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
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32   empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
33   empty = replicate nothing
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35   fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
36   fromAscList []             = empty
37   fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
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39   FinMap : ℕ → Set → Set
40   FinMap n A = Vec A n
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42   lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
43   lookup = lookupVec
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45   fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
46   fromFunc = tabulate
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48   union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
49   union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
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51 open FinMap
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53 EqInst : Set → Set
54 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
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56 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
57 checkInsert eq i b m with lookupM i m
58 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
59 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
60 checkInsert eq i b m | just c  | no p    = nothing
61 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
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63 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
64 assoc _  []       []       = just empty
65 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
66 assoc _  _        _        = nothing
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68 generate : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
69 generate f is = fromAscList (zip is (map f is))
70
71 lemma-insert-same : {τ : Set} {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n τ) → (f : Fin n) → (a : τ) → just a ≡ lookupM f m → m ≡ insert f a m
72 lemma-insert-same []               ()      a p
73 lemma-insert-same (.(just a) ∷ xs) zero    a refl = refl
74 lemma-insert-same (x ∷ xs)         (suc i) a p    = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
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76 lemma-checkInsert-generate : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (generate f is) ≡ just (generate f (i ∷ is))
77 lemma-checkInsert-generate eq f i is with lookupM i (generate f is) | inspect (lookupM i) (generate f is)
78 lemma-checkInsert-generate eq f i is | nothing | _ = refl
79 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x | _ with eq (f i) x
80 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | Reveal_is_.[_] p | yes refl = cong just (lemma-insert-same (generate f is) i (f i) (sym p))
81 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x | _ | no p = {!!}
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83
84 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (generate f is)
85 lemma-1 eq f []        = refl
86 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
87   (assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′)))
88     ≡⟨ refl ⟩
89   (assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i))
90     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
91   (just (generate f is′) >>= (checkInsert eq i (f i)))
92     ≡⟨ refl ⟩
93   (checkInsert eq i (f i) (generate f is′))
94     ≡⟨ lemma-checkInsert-generate eq f i is′ ⟩
95   just (generate f (i ∷ is′)) ∎
96      where open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning
97
98 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → just h ≡ assoc eq is v → map (flip lookup h) is ≡ map just v
99 lemma-2 eq []       []       h p = refl
100 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
101 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
102 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p = {!!}
103
104 idrange : (n : ℕ) → List (Fin n)
105 idrange n = toList (tabulate id)
106
107 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
108 bff get eq s v = let s′ = idrange (length s)
109                      g  = fromFunc (λ f → lookupVec f (fromList s))
110                      h  = assoc eq (get s′) v
111                      h′ = fmap (flip union g) h
112                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
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114 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
115 theorem-1 get eq s = {!!}