formulate lemma-2
[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 module Bidir where
2
3 open import Data.Bool hiding (_≟_)
4 open import Data.Nat
5 open import Data.Fin
6 open import Data.Maybe
7 open import Data.List hiding (replicate)
8 open import Data.Vec hiding (map ; zip) renaming (lookup to lookupVec)
9 open import Data.Product hiding (zip ; map)
10 open import Function
11 open import Relation.Nullary
12 open import Relation.Binary.Core
13 open import Relation.Binary.PropositionalEquality
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15 module FinMap where
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17   FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
18   FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
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20   lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
21   lookupM = lookupVec
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23   insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
24   insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
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26   empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
27   empty = replicate nothing
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29   fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
30   fromAscList []             = empty
31   fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
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33   FinMap : ℕ → Set → Set
34   FinMap n A = Vec A n
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36   lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
37   lookup = lookupVec
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39   fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
40   fromFunc = tabulate
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42   union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
43   union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
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45 open FinMap
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47 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → ((x y : A) → Dec (x ≡ y)) → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
48 checkInsert eq i b m with lookupM i m
49 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
50 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
51 checkInsert eq i b m | just c  | no p    = nothing
52 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
53
54 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → ((x y : A) → Dec (x ≡ y)) → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
55 assoc _  []       []       = just empty
56 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = maybe′ (checkInsert eq i b) nothing (assoc eq is bs)
57 assoc _  _        _        = nothing
58
59 generate : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
60 generate f is = fromAscList (zip is (map f is))
61
62 data Is-Just {A : Set} : (Maybe A) → Set where
63   is-just : (x : A) → Is-Just (just x) 
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65 the : {A : Set} {t : Maybe A} → Is-Just t → A
66 the (is-just x) = x
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68 lemma-insert-same : {τ : Set} {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n τ) → (f : Fin n) → (a? : Is-Just (lookup f m)) → m ≡ insert f (the a?) m
69 lemma-insert-same [] () a?
70 lemma-insert-same (.(just x) ∷ xs) zero (is-just x) = refl
71 lemma-insert-same (x ∷ xs) (suc f′) a? = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs f′ a?)
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73 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : (x y : τ) → Dec (x ≡ y)) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (generate f is)
74 lemma-1 eq f []        = refl
75 lemma-1 eq f (i ∷ is′) with assoc eq is′ (map f is′) | generate f is′ | lemma-1 eq f is′
76 lemma-1 eq f (i ∷ is′) | nothing | _ | ()
77 lemma-1 eq f (i ∷ is′) | just m | .m | refl with lookup i m
78 lemma-1 eq f (i ∷ is′) | just m | .m | refl | nothing = refl
79 lemma-1 eq f (i ∷ is′) | just m | .m | refl | just x with eq (f i) x
80 lemma-1 eq f (i ∷ is′) | just m | .m | refl | just .(f i) | yes refl = cong just (lemma-insert-same m i {!!})
81 lemma-1 eq f (i ∷ is′) | just m | .m | refl | just x | no ¬p = {!!}
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83 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : (x y : τ) → Dec (x ≡ y)) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → just h ≡ assoc eq is v → map (flip lookup h) is ≡ map just v
84 lemma-2 eq is v h p = {!!}
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86 idrange : (n : ℕ) → List (Fin n)
87 idrange n = toList (tabulate id)
88
89 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → ((x y : B) → Dec (x ≡ y)) → List B → List B → Maybe (List B))
90 bff get eq s v = let s′ = idrange (length s)
91                      g  = fromFunc (λ f → lookupVec f (fromList s))
92                      h  = assoc eq (get s′) v
93                      h′ = maybe′ (λ jh → just (union jh g)) nothing h
94                  in maybe′ (λ jh′ → just (map (flip lookup jh′) s′)) nothing h′