base case of lemma-2
[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 module Bidir where
2
3 open import Data.Bool hiding (_≟_)
4 open import Data.Nat
5 open import Data.Fin
6 open import Data.Maybe
7 open import Data.List hiding (replicate)
8 open import Data.Vec hiding (map ; zip ; _>>=_) renaming (lookup to lookupVec)
9 open import Data.Product hiding (zip ; map)
10 open import Function
11 open import Relation.Nullary
12 open import Relation.Binary.Core
13 open import Relation.Binary.PropositionalEquality
14
15 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
16 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
17
18 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
19 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
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21 module FinMap where
22
23   FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
24   FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
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26   lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
27   lookupM = lookupVec
28
29   insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
30   insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
31
32   empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
33   empty = replicate nothing
34
35   fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
36   fromAscList []             = empty
37   fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
38
39   FinMap : ℕ → Set → Set
40   FinMap n A = Vec A n
41
42   lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
43   lookup = lookupVec
44
45   fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
46   fromFunc = tabulate
47
48   union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
49   union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
50
51 open FinMap
52
53 EqInst : Set → Set
54 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
55
56 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
57 checkInsert eq i b m with lookupM i m
58 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
59 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
60 checkInsert eq i b m | just c  | no p    = nothing
61 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
62
63 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
64 assoc _  []       []       = just empty
65 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
66 assoc _  _        _        = nothing
67
68 generate : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
69 generate f is = fromAscList (zip is (map f is))
70
71 data Is-Just {A : Set} : (Maybe A) → Set where
72   is-just : (x : A) → Is-Just (just x) 
73
74 the : {A : Set} {t : Maybe A} → Is-Just t → A
75 the (is-just x) = x
76
77 lemma-insert-same : {τ : Set} {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n τ) → (f : Fin n) → (a? : Is-Just (lookup f m)) → m ≡ insert f (the a?) m
78 lemma-insert-same [] () a?
79 lemma-insert-same (.(just x) ∷ xs) zero (is-just x) = refl
80 lemma-insert-same (x ∷ xs) (suc f′) a? = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs f′ a?)
81
82 lemma-checkInsert-generate : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (generate f is) ≡ just (generate f (i ∷ is))
83 lemma-checkInsert-generate eq f i is with lookupM i (generate f is)
84 lemma-checkInsert-generate eq f i is | nothing = refl
85 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x with eq (f i) x
86 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just .(f i) | yes refl = cong just (lemma-insert-same (generate f is) i {!!})
87 lemma-checkInsert-generate eq f i is | just x | no p = {!!}
88
89 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (generate f is)
90 lemma-1 eq f []        = refl
91 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
92   (assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′)))
93     ≡⟨ refl ⟩
94   (assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i))
95     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
96   (just (generate f is′) >>= (checkInsert eq i (f i)))
97     ≡⟨ refl ⟩
98   (checkInsert eq i (f i) (generate f is′))
99     ≡⟨ lemma-checkInsert-generate eq f i is′ ⟩
100   just (generate f (i ∷ is′)) ∎
101      where open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning
102
103 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → just h ≡ assoc eq is v → map (flip lookup h) is ≡ map just v
104 lemma-2 eq []       []       h p = refl
105 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
106 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
107 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p = {!!}
108
109 idrange : (n : ℕ) → List (Fin n)
110 idrange n = toList (tabulate id)
111
112 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
113 bff get eq s v = let s′ = idrange (length s)
114                      g  = fromFunc (λ f → lookupVec f (fromList s))
115                      h  = assoc eq (get s′) v
116                      h′ = fmap (flip union g) h
117                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
118
119 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
120 theorem-1 get eq s = {!!}