show a stronger lemma-checkInsert-restrict
[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 open import Relation.Binary.Core using (Decidable ; _≡_)
2
3 module Bidir (Carrier : Set) (deq : Decidable {A = Carrier} _≡_) where
4
5 open import Data.Nat using (ℕ)
6 open import Data.Fin using (Fin)
7 import Level
8 import Category.Monad
9 import Category.Functor
10 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′) renaming (setoid to MaybeSetoid)
11 open Category.Monad.RawMonad {Level.zero} Data.Maybe.monad using (_>>=_)
12 open Category.Functor.RawFunctor {Level.zero} Data.Maybe.functor using (_<$>_)
13 open import Data.List using (List)
14 open import Data.List.All using (All)
15 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; toList ; map ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec)
16 open import Data.Vec.Equality using () renaming (module Equality to VecEq)
17 open import Data.Vec.Properties using (tabulate-∘ ; lookup∘tabulate ; map-cong ; map-∘)
18 open import Data.Product using (∃ ; _×_ ; _,_ ; proj₁ ; proj₂)
19 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
20 open import Relation.Binary.Core using (refl)
21 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; [_] ; trans ; cong₂ ; decSetoid) renaming (setoid to ≡-setoid)
22 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
23 open import Relation.Binary using (module Setoid)
24
25 import FreeTheorems
26 open FreeTheorems.VecVec using (get-type ; free-theorem)
27 open import Generic using (just-injective ; map-just-injective ; vecIsSetoid)
28 open import FinMap
29 import CheckInsert
30 open CheckInsert (decSetoid deq)
31 import BFF
32 open BFF.VecBFF Carrier deq using (assoc ; enumerate ; denumerate ; bff)
33
34 lemma-1 : {m n : ℕ} → (f : Fin n → Carrier) → (is : Vec (Fin n) m) → assoc is (map f is) ≡ just (restrict f (toList is))
35 lemma-1 f []        = refl
36 lemma-1 f (i ∷ is′) = begin
37   (assoc is′ (map f is′) >>= checkInsert i (f i))
38     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert i (f i)) (lemma-1 f is′) ⟩
39   checkInsert i (f i) (restrict f (toList is′))
40     ≡⟨ lemma-checkInsert-restrict f i (toList is′) ⟩
41   just (restrict f (toList (i ∷ is′))) ∎
42
43 lemma-lookupM-assoc : {m n : ℕ} → (i : Fin n) → (is : Vec (Fin n) m) → (x : Carrier) → (xs : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
44 lemma-lookupM-assoc i is x xs h    p with assoc is xs
45 lemma-lookupM-assoc i is x xs h    () | nothing
46 lemma-lookupM-assoc i is x xs h    p | just h' with checkInsert i x h' | insertionresult i x h'
47 lemma-lookupM-assoc i is x xs .h refl | just h | ._ | same x' x≡x' pl = trans pl (cong just (sym x≡x'))
48 lemma-lookupM-assoc i is x xs ._ refl | just h' | ._ | new _ = lemma-lookupM-insert i x h'
49 lemma-lookupM-assoc i is x xs h () | just h' | ._ | wrong _ _ _
50
51 _in-domain-of_ : {n : ℕ} {A : Set} → (is : List (Fin n)) → (FinMapMaybe n A) → Set
52 _in-domain-of_ is h = All (λ i → ∃ λ x → lookupM i h ≡ just x) is
53
54 lemma-assoc-domain : {m n : ℕ} → (is : Vec (Fin n) m) → (xs : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc is xs ≡ just h → (toList is) in-domain-of h
55 lemma-assoc-domain []         []         h ph = Data.List.All.[]
56 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph with assoc is' xs' | inspect (assoc is') xs'
57 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () | nothing | [ ph' ]
58 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph | just h' | [ ph' ] with checkInsert i' x' h' | inspect (checkInsert i' x') h' | insertionresult i' x' h'
59 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') .h refl | just h | [ ph' ] | ._ | _ | same x _ pl = All._∷_ (x , pl) (lemma-assoc-domain is' xs' h ph')
60 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') ._ refl | just h' | [ ph' ] | ._ | [ cI≡ ] | new _ = All._∷_
61   (x' , lemma-lookupM-insert i' x' h')
62   (Data.List.All.map
63     (λ {i} p → proj₁ p , lemma-lookupM-checkInsert i i' (proj₁ p) x' h' (insert i' x' h') (proj₂ p) cI≡)
64     (lemma-assoc-domain is' xs' h' ph'))
65 lemma-assoc-domain (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () | just h' | [ ph' ] | ._ | _ | wrong _ _ _
66
67 lemma-map-lookupM-assoc : {m : ℕ} → (i : Fin m) → (x : Carrier) → (h : FinMapMaybe m Carrier) → (h' : FinMapMaybe m Carrier) → checkInsert i x h' ≡ just h → {n : ℕ} → (js : Vec (Fin m) n) → (toList js) in-domain-of h' → map (flip lookupM h) js ≡ map (flip lookupM h') js
68 lemma-map-lookupM-assoc i x h h' ph [] pj = refl
69 lemma-map-lookupM-assoc i x h h' ph (j ∷ js) (Data.List.All._∷_ (x' , pl) pj) = cong₂ _∷_
70   (trans (lemma-lookupM-checkInsert j i x' x h' h pl ph) (sym pl))
71   (lemma-map-lookupM-assoc i x h h' ph js pj)
72
73 lemma-2 : {m n : ℕ} → (is : Vec (Fin n) m) → (v : Vec Carrier m) → (h : FinMapMaybe n Carrier) → assoc is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
74 lemma-2 []       []       h p = refl
75 lemma-2 (i ∷ is) (x ∷ xs) h p with assoc is xs | inspect (assoc is) xs
76 lemma-2 (i ∷ is) (x ∷ xs) h () | nothing | _
77 lemma-2 (i ∷ is) (x ∷ xs) h p | just h' | [ ir ] = begin
78   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is
79     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookupM h) is)) (lemma-lookupM-assoc i is x xs h (begin
80       assoc (i ∷ is) (x ∷ xs)
81         ≡⟨ cong (flip _>>=_ (checkInsert i x)) ir ⟩
82       checkInsert i x h'
83         ≡⟨ p ⟩
84       just h ∎) ) ⟩
85   just x ∷ map (flip lookupM h) is
86     ≡⟨  cong (_∷_ (just x)) (lemma-map-lookupM-assoc i x h h' p is (lemma-assoc-domain is xs h' ir)) ⟩
87   just x ∷ map (flip lookupM h') is
88     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 is xs h' ir) ⟩
89   just x ∷ map just xs ∎
90
91 lemma-map-denumerate-enumerate : {m : ℕ} → (as : Vec Carrier m) → map (denumerate as) (enumerate as) ≡ as
92 lemma-map-denumerate-enumerate []       = refl
93 lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
94   map (flip lookupVec (a ∷ as)) (tabulate Fin.suc)
95     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷ as))) (tabulate-∘ Fin.suc id) ⟩
96   map (flip lookupVec (a ∷ as)) (map Fin.suc (tabulate id))
97     ≡⟨ refl ⟩
98   map (flip lookupVec (a ∷ as)) (map Fin.suc (enumerate as))
99     ≡⟨ sym (map-∘ _ _ (enumerate as)) ⟩
100   map (flip lookupVec (a ∷ as) ∘ Fin.suc) (enumerate as)
101     ≡⟨ refl ⟩
102   map (denumerate as) (enumerate as)
103     ≡⟨ lemma-map-denumerate-enumerate as ⟩
104   as ∎)
105
106 theorem-1 : {getlen : ℕ → ℕ} → (get : get-type getlen) → {m : ℕ} → (s : Vec Carrier m) → bff get s (get s) ≡ just s
107 theorem-1 get s = begin
108   bff get s (get s)
109     ≡⟨ cong (bff get s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
110   bff get s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
111     ≡⟨ cong (bff get s) (free-theorem get (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
112   bff get s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
113     ≡⟨ refl ⟩
114   (h′↦r ∘ h↦h′) (assoc (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s))))
115     ≡⟨ cong (h′↦r ∘ h↦h′) (lemma-1 (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
116   (h′↦r ∘ h↦h′ ∘ just) (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s))))
117     ≡⟨ refl ⟩
118   (h′↦r ∘ just) (union (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s)))) (fromFunc (denumerate s)))
119     ≡⟨ cong (h′↦r ∘ just) (lemma-union-restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s)))) ⟩
120   (h′↦r ∘ just) (fromFunc (denumerate s))
121     ≡⟨ refl ⟩
122   just (map (flip lookup (fromFunc (denumerate s))) (enumerate s))
123     ≡⟨ cong just (map-cong (lookup∘tabulate (denumerate s)) (enumerate s)) ⟩
124   just (map (denumerate s) (enumerate s))
125     ≡⟨ cong just (lemma-map-denumerate-enumerate s) ⟩
126   just s ∎
127     where h↦h′ = _<$>_ (flip union (fromFunc (denumerate s)))
128           h′↦r = _<$>_ (flip map (enumerate s) ∘ flip lookupVec)
129
130 lemma-<$>-just : {A B : Set} {f : A → B} {b : B} {ma : Maybe A} → f <$> ma ≡ just b → ∃ λ a → ma ≡ just a
131 lemma-<$>-just {ma = just x}  f<$>ma≡just-b = x , refl
132 lemma-<$>-just {ma = nothing} ()
133
134 lemma-union-not-used : {m n : ℕ} {A : Set} (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMap n A) → (is : Vec (Fin n) m) → (toList is) in-domain-of h → map just (map (flip lookup (union h h')) is) ≡ map (flip lookupM h) is
135 lemma-union-not-used h h' []        p = refl
136 lemma-union-not-used h h' (i ∷ is') (Data.List.All._∷_ (x , px) p') = cong₂ _∷_ (begin
137       just (lookup i (union h h'))
138         ≡⟨ cong just (lookup∘tabulate (λ j → maybe′ id (lookup j h') (lookupM j h)) i) ⟩
139       just (maybe′ id (lookup i h') (lookupM i h))
140         ≡⟨ cong just (cong (maybe′ id (lookup i h')) px) ⟩
141       just (maybe′ id (lookup i h') (just x))
142         ≡⟨ sym px ⟩
143       lookupM i h ∎)
144   (lemma-union-not-used h h' is' p')
145
146 theorem-2 : {getlen : ℕ → ℕ} (get : get-type getlen) → {m : ℕ} → (v : Vec Carrier (getlen m)) → (s u : Vec Carrier m) → bff get s v ≡ just u → get u ≡ v
147 theorem-2 get v s u p with lemma-<$>-just (proj₂ (lemma-<$>-just p))
148 theorem-2 get v s u p | h , ph = begin
149   get u
150     ≡⟨ just-injective (begin
151       get <$> (just u)
152         ≡⟨ cong (_<$>_ get) (sym p) ⟩
153       get <$> (bff get s v)
154         ≡⟨ cong (_<$>_ get ∘ _<$>_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) ph ⟩
155       get <$> (h′↦r <$> (h↦h′ <$> just h)) ∎) ⟩
156   get (map (flip lookup (h↦h′ h)) s′)
157     ≡⟨ free-theorem get (flip lookup (h↦h′ h)) s′ ⟩
158   map (flip lookup (h↦h′ h)) (get s′)
159      ≡⟨ map-just-injective (begin
160        map just (map (flip lookup (union h g)) (get s′))
161          ≡⟨ lemma-union-not-used h g (get s′) (lemma-assoc-domain (get s′) v h ph) ⟩
162        map (flip lookupM h) (get s′)
163          ≡⟨ lemma-2 (get s′) v h ph ⟩
164        map just v
165          ∎) ⟩
166   v ∎
167     where s′   = enumerate s
168           g    = fromFunc (denumerate s)
169           h↦h′ = flip union g
170           h′↦r = flip map s′ ∘ flip lookupVec