reduce hole in lemma-2
[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 module Bidir where
2
3 open import Data.Nat using (ℕ)
4 open import Data.Fin using (Fin)
5 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
6 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
7 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; length)
8 open import Data.List.Properties using (map-cong) renaming (map-compose to map-∘)
9 open import Data.List.Any using (Any ; any ; here ; there)
10 open Data.List.Any.Membership-≡ using (_∈_ ; _∉_)
11 open import Data.Vec using (toList ; fromList ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec ; _∷_ to _∷V_)
12 open import Data.Vec.Properties using (tabulate-∘ ; lookup∘tabulate)
13 open import Data.Product using (∃ ; _,_)
14 open import Data.Empty using (⊥-elim)
15 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
16 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no ; _)
17 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
18 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
19 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; Reveal_is_ ; _≗_ ; trans)
20 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
21
22 open import FinMap
23
24 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
25 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
26
27 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
28 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
29
30 EqInst : Set → Set
31 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
32
33 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
34 checkInsert eq i b m with lookupM i m
35 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
36 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
37 checkInsert eq i b m | just c  | no p    = nothing
38 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
39 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
40 assoc _  []       []       = just empty
41 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
42 assoc _  _        _        = nothing
43
44 record checkInsertProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (P : Set) : Set where
45   field
46      same : lookupM i m ≡ just x → P
47      new : lookupM i m ≡ nothing → P
48      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x'  → P
49
50 apply-checkInsertProof : {A P : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → checkInsertProof eq i x m P → P
51 apply-checkInsertProof eq i x m rp with lookupM i m | inspect (lookupM i) m
52 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | il with eq x x'
53 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just .x | Reveal_is_.[_] il | yes refl = checkInsertProof.same rp il
54 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | Reveal_is_.[_] il | no x≢x' = checkInsertProof.wrong rp x' x≢x' il
55 apply-checkInsertProof eq i x m rp | nothing | Reveal_is_.[_] il = checkInsertProof.new rp il
56
57 lemma-checkInsert-same : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ just x → checkInsert eq i x m ≡ just m
58 lemma-checkInsert-same eq i x m p with lookupM i m
59 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) with eq x x
60 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | yes refl = refl
61 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | no x≢x = contradiction refl x≢x
62
63 lemma-checkInsert-new : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ nothing → checkInsert eq i x m ≡ just (insert i x m)
64 lemma-checkInsert-new eq i x m p with lookupM i m
65 lemma-checkInsert-new eq i x m refl | .nothing = refl
66
67 lemma-checkInsert-wrong : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → checkInsert eq i x m ≡ nothing
68 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d p with lookupM i m
69 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') with eq x x'
70 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | yes q = contradiction q d
71 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | no q = refl
72
73 record checkInsertEqualProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (e : Maybe (FinMapMaybe n A)) : Set where
74   field
75      same : lookupM i m ≡ just x → just m ≡ e
76      new : lookupM i m ≡ nothing → just (insert i x m) ≡ e
77      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → nothing ≡ e
78
79 lift-checkInsertProof : {A : Set} {n : ℕ} {eq : EqInst A} {i : Fin n} {x : A} {m : FinMapMaybe n A} {e : Maybe (FinMapMaybe n A)} → checkInsertEqualProof eq i x m e → checkInsertProof eq i x m (checkInsert eq i x m ≡ e)
80 lift-checkInsertProof {_} {_} {eq} {i} {x} {m} o = record
81   { same  = λ p → trans (lemma-checkInsert-same eq i x m p) (checkInsertEqualProof.same o p)
82   ; new   = λ p → trans (lemma-checkInsert-new eq i x m p) (checkInsertEqualProof.new o p)
83   ; wrong = λ x' q p → trans (lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' q p) (checkInsertEqualProof.wrong o x' q p)
84   }
85
86 lemma-checkInsert-restrict : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (restrict f is) ≡ just (restrict f (i ∷ is))
87 lemma-checkInsert-restrict {τ} eq f i is = apply-checkInsertProof eq i (f i) (restrict f is) (lift-checkInsertProof record
88   { same  = λ lookupM≡justx → cong just (lemma-insert-same (restrict f is) i (f i) lookupM≡justx)
89   ; new   = λ lookupM≡nothing → refl
90   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → contradiction (lemma-lookupM-restrict i f is x' lookupM≡justx') x≢x'
91   })
92
93 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (restrict f is)
94 lemma-1 eq f []        = refl
95 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
96   assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′))
97     ≡⟨ refl ⟩
98   assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i)
99     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
100   just (restrict f is′) >>= (checkInsert eq i (f i))
101     ≡⟨ refl ⟩
102   checkInsert eq i (f i) (restrict f is′)
103     ≡⟨ lemma-checkInsert-restrict eq f i is′ ⟩
104   just (restrict f (i ∷ is′)) ∎
105
106 lemma-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
107 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p with assoc eq is xs
108 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    () | nothing
109 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p | just h' = apply-checkInsertProof eq i x h' record
110   { same  = λ lookupM≡justx → begin
111       lookupM i h
112         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym p) (lemma-checkInsert-same eq i x h' lookupM≡justx))) ⟩
113       lookupM i h'
114         ≡⟨ lookupM≡justx ⟩
115       just x ∎
116   ; new   = λ lookupM≡nothing → begin
117       lookupM i h
118         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym p) (lemma-checkInsert-new eq i x h' lookupM≡nothing))) ⟩
119       lookupM i (insert i x h')
120         ≡⟨ lemma-lookupM-insert i x h' ⟩
121       just x ∎
122   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → lemma-just≢nothing (trans (sym p) (lemma-checkInsert-wrong eq i x h' x' x≢x' lookupM≡justx'))
123   }
124
125 lemma-lookupM-checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i j : Fin n) → (x y : A) → (h h' : FinMapMaybe n A) → lookupM i h ≡ just x → checkInsert eq j y h ≡ just h' → lookupM i h' ≡ just x
126 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' with lookupM j h | inspect (lookupM j) h
127 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h .(insert j y h) pl refl | nothing | pl' with i ≟ j
128 lemma-lookupM-checkInsert eq i .i x y h .(insert i y h) pl refl | nothing | Reveal_is_.[_] pl' | yes refl with begin just x ≡⟨ sym pl ⟩ lookupM i h ≡⟨ pl' ⟩ nothing ∎
129 ... | ()
130 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h .(insert j y h) pl refl | nothing | pl' | no p = begin
131   lookupM i (insert j y h)
132     ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i j y h ¬p) ⟩
133   lookupM i h
134     ≡⟨ pl ⟩
135   just x ∎
136 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' | just z | pl' with eq y z
137 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' | just .y | pl' | yes refl = begin
138   lookupM i h'
139     ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (sym ph')) ⟩
140   lookupM i h
141     ≡⟨ pl ⟩
142   just x ∎
143 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl () | just z | pl' | no p
144
145 lemma-∈-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq is xs ≡ just h → (i ∈ is) → (∃ λ x → lookupM i h ≡ just x)
146 lemma-∈-lookupM-assoc eq i [] [] h ph ()
147 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is) [] h () i∈is
148 lemma-∈-lookupM-assoc eq i [] (x ∷ xs) h () i∈is
149 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is) (x ∷ xs) h ph i∈is with assoc eq is xs | inspect (assoc eq is) xs
150 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is) (x ∷ xs) h () i∈is | nothing | ph'
151 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (.i ∷ is) (x ∷ xs) h ph (here refl) | just h' | ph' with lookupM i h' | inspect (lookupM i) h'
152 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (.i ∷ is) (x ∷ xs) h ph (here refl) | just h' | ph' | just x' | px with eq x x' 
153 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (.i ∷ is) (x ∷ xs) h refl (here refl) | just .h | ph' | just .x | Reveal_is_.[_] px | yes refl = x , px
154 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (.i ∷ is) (x ∷ xs) h () (here refl) | just h' | ph' | just x' | px | no ¬p
155 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (.i ∷ is) (x ∷ xs) .(insert i x h') refl (here refl) | just h' | ph' | nothing | px = x , lemma-lookupM-insert i x h'
156 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is) (x ∷ xs) h ph (there pxs) | just h' | Reveal_is_.[_] ph' with lemma-∈-lookupM-assoc eq i is xs h' ph' pxs
157 lemma-∈-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is) (x ∷ xs) h ph (there pxs) | just h' | Reveal_is_.[_] ph' | x' , px' = x' , lemma-lookupM-checkInsert eq i i' x' x h' h px' ph
158
159 lemma-∉-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq is xs ≡ just h → (i ∉ is) → lookupM i h ≡ nothing
160 lemma-∉-lookupM-assoc eq i []         []         h ph i∉is = begin
161   lookupM i h
162     ≡⟨ cong (lookupM i) (sym (lemma-from-just ph)) ⟩
163   lookupM i empty
164     ≡⟨ lemma-lookupM-empty i ⟩
165   nothing ∎
166 lemma-∉-lookupM-assoc eq i []         (x' ∷ xs') h () i∉is
167 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') []         h () i∉is
168 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is with i ≟ i'
169 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | yes p = contradiction (here p) i∉is
170 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | no ¬p with assoc eq is' xs' | inspect (assoc eq is') xs'
171 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h () i∉is | no ¬p | nothing | Reveal_is_.[_] ph'
172 lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h ph i∉is | no ¬p | just h' | Reveal_is_.[_] ph' = apply-checkInsertProof eq i' x' h' record {
173     same = λ lookupM-i'-h'≡just-x' → begin
174       lookupM i h
175         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-same eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡just-x'))) ⟩
176       lookupM i h'
177         ≡⟨ lemma-∉-lookupM-assoc eq i is' xs' h' ph' (i∉is ∘ there) ⟩
178       nothing ∎
179   ; new = λ lookupM-i'-h'≡nothing → begin
180       lookupM i h
181         ≡⟨ cong (lookupM i)  (lemma-from-just (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-new eq i' x' h' lookupM-i'-h'≡nothing))) ⟩
182       lookupM i (insert i' x' h')
183         ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i i' x' h' ¬p) ⟩
184       lookupM i h'
185         ≡⟨ lemma-∉-lookupM-assoc eq i is' xs' h' ph' (i∉is ∘ there) ⟩
186       nothing ∎
187   ; wrong = λ x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x'' → lemma-just≢nothing (trans (sym ph) (lemma-checkInsert-wrong eq i' x' h' x'' x'≢x'' lookupM-i'-h'≡just-x''))
188   }
189
190 lemma-map-lookupM-assoc : {n : ℕ} {A : Set} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMapMaybe n A) → assoc eq is xs ≡ just h' → checkInsert eq i x h' ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map (flip lookupM h') is
191 lemma-map-lookupM-assoc eq i []         x []         h h' ph' ph = refl
192 lemma-map-lookupM-assoc eq i []         x (x' ∷ xs') h h' ()  ph
193 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x []         h h' ()  ph
194 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph with any (_≟_ i) (i' ∷ is')
195 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | yes p with lemma-∈-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h' ph' p
196 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | yes p | (x'' , p') with lookupM i h' 
197 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | yes p | (x'' , refl) | .(just x'') with eq x x''
198 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h .h ph' refl | yes p | (.x , refl) | .(just x)  | yes refl = refl
199 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' () | yes p | (x'' , refl) | .(just x'') | no ¬p
200 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | no ¬p with lookupM i h' | lemma-∉-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') (x' ∷ xs') h' ph' ¬p
201 lemma-map-lookupM-assoc eq i (i' ∷ is') x (x' ∷ xs') h h' ph' ph | no ¬p | .nothing | refl = begin
202   map (flip lookupM h) (i' ∷ is')
203     ≡⟨ map-cong {!!} (i' ∷ is') ⟩
204   map (flip lookupM h') (i' ∷ is') ∎
205
206 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → assoc eq is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
207 lemma-2 eq []       []       h p = refl
208 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
209 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
210 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p with assoc eq is xs | inspect (assoc eq is) xs
211 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h () | nothing | _
212 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p | just h' | Reveal_is_.[_] ir = begin
213   map (flip lookupM h) (i ∷ is)
214     ≡⟨ refl ⟩
215   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is
216     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookup h) is)) (lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h (begin
217       assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs)
218         ≡⟨ cong (flip _>>=_ (checkInsert eq i x)) ir ⟩
219       checkInsert eq i x h'
220         ≡⟨ p ⟩
221       just h ∎) ) ⟩
222   just x ∷ map (flip lookupM h) is
223     ≡⟨  cong (_∷_ (just x)) (lemma-map-lookupM-assoc eq i is x xs h h' ir p) ⟩
224   just x ∷ map (flip lookupM h') is
225     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 eq is xs h' ir) ⟩
226   just x ∷ map just xs
227     ≡⟨ refl ⟩
228   map just (x ∷ xs) ∎
229
230 enumerate : {A : Set} → (l : List A) → List (Fin (length l))
231 enumerate l = toList (tabulate id)
232
233 denumerate : {A : Set} (l : List A) → Fin (length l) → A
234 denumerate l = flip lookupVec (fromList l)
235
236 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
237 bff get eq s v = let s′ = enumerate s
238                      g  = fromFunc (denumerate s)
239                      h  = assoc eq (get s′) v
240                      h′ = fmap (flip union g) h
241                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
242
243 postulate
244   free-theorem-list-list : {β γ : Set} → (get : {α : Set} → List α → List α) → (f : β → γ) → get ∘ map f ≗ map f ∘ get
245
246 toList-map-commutes : {A B : Set} {n : ℕ} → (f : A → B) → (v : Data.Vec.Vec A n) → (toList (Data.Vec.map f v)) ≡ map f (toList v)
247 toList-map-commutes f Data.Vec.[] = refl
248 toList-map-commutes f (x ∷V xs) = cong (_∷_ (f x)) (toList-map-commutes f xs)
249
250 lemma-map-denumerate-enumerate : {A : Set} → (as : List A) → map (denumerate as) (enumerate as) ≡ as
251 lemma-map-denumerate-enumerate [] = refl
252 lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
253   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (tabulate Fin.suc))
254     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) ∘ toList) (tabulate-∘ Fin.suc id) ⟩
255   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (Data.Vec.map Fin.suc (tabulate id)))
256     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V fromList as))) (toList-map-commutes Data.Fin.suc (tabulate id)) ⟩
257   map (flip lookupVec (a ∷V fromList as)) (map Fin.suc (enumerate as))
258     ≡⟨ sym (map-∘ (enumerate as)) ⟩
259   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as)) ∘ Fin.suc) (enumerate as)
260     ≡⟨ refl ⟩
261   map (denumerate as) (enumerate as)
262     ≡⟨ lemma-map-denumerate-enumerate as ⟩
263   as ∎)
264
265 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
266 theorem-1 get eq s = begin
267   bff get eq s (get s)
268     ≡⟨ cong (bff get eq s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
269   bff get eq s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
270     ≡⟨ cong (bff get eq s) (free-theorem-list-list get (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
271   bff get eq s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
272     ≡⟨ refl ⟩
273   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (denumerate s))) (assoc eq (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s)))))
274     ≡⟨ cong (fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) ∘ fmap (flip union (fromFunc (denumerate s)))) (lemma-1 eq (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
275   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (flip lookupVec (fromList s)))) (just (restrict (denumerate s) (get (enumerate s)))))
276     ≡⟨ refl ⟩
277   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (union (restrict (denumerate s) (get (enumerate s))) (fromFunc (denumerate s))))
278     ≡⟨ cong just (cong (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (lemma-union-restrict (denumerate s) (get (enumerate s)))) ⟩
279   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fromFunc (denumerate s)))
280     ≡⟨ refl ⟩
281   just (map (flip lookup (fromFunc (denumerate s))) (enumerate s))
282     ≡⟨ cong just (map-cong (lookup∘tabulate (denumerate s)) (enumerate s)) ⟩
283   just (map (denumerate s) (enumerate s))
284     ≡⟨ cong just (lemma-map-denumerate-enumerate s) ⟩
285   just s ∎
286
287 theorem-2 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (v s u : List τ) → bff get eq s v ≡ just u → get u ≡ v
288 theorem-2 get eq v s u p = {!!}