inline bot-elim into lemma-just-nothing
[~helmut/bidiragda.git] / Bidir.agda
1 module Bidir where
2
3 open import Data.Nat using (ℕ)
4 open import Data.Fin using (Fin)
5 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just ; maybe′)
6 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; length)
7 open import Data.List.Properties using (map-cong) renaming (map-compose to map-∘)
8 open import Data.Vec using (toList ; fromList ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec ; _∷_ to _∷V_)
9 open import Data.Vec.Properties using (tabulate-∘ ; lookup∘tabulate)
10 open import Data.Empty using (⊥-elim)
11 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
12 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no ; _)
13 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
14 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
15 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; Reveal_is_ ; _≗_ ; trans)
16 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
17
18 open import FinMap
19
20 _>>=_ : {A B : Set} → Maybe A → (A → Maybe B) → Maybe B
21 _>>=_ = flip (flip maybe′ nothing)
22
23 fmap : {A B : Set} → (A → B) → Maybe A → Maybe B
24 fmap f = maybe′ (λ a → just (f a)) nothing
25
26 EqInst : Set → Set
27 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
28
29 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
30 checkInsert eq i b m with lookupM i m
31 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
32 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
33 checkInsert eq i b m | just c  | no p    = nothing
34 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
35 assoc : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → List (Fin n) → List A → Maybe (FinMapMaybe n A)
36 assoc _  []       []       = just empty
37 assoc eq (i ∷ is) (b ∷ bs) = (assoc eq is bs) >>= (checkInsert eq i b)
38 assoc _  _        _        = nothing
39
40 record checkInsertProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (P : Set) : Set where
41   field
42      same : lookupM i m ≡ just x → P
43      new : lookupM i m ≡ nothing → P
44      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x'  → P
45
46 apply-checkInsertProof : {A P : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → checkInsertProof eq i x m P → P
47 apply-checkInsertProof eq i x m rp with lookupM i m | inspect (lookupM i) m
48 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | il with eq x x'
49 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just .x | Reveal_is_.[_] il | yes refl = checkInsertProof.same rp il
50 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | Reveal_is_.[_] il | no x≢x' = checkInsertProof.wrong rp x' x≢x' il
51 apply-checkInsertProof eq i x m rp | nothing | Reveal_is_.[_] il = checkInsertProof.new rp il
52
53 lemma-checkInsert-same : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ just x → checkInsert eq i x m ≡ just m
54 lemma-checkInsert-same eq i x m p with lookupM i m
55 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) with eq x x
56 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | yes refl = refl
57 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | no x≢x = contradiction refl x≢x
58
59 lemma-checkInsert-new : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ nothing → checkInsert eq i x m ≡ just (insert i x m)
60 lemma-checkInsert-new eq i x m p with lookupM i m
61 lemma-checkInsert-new eq i x m refl | .nothing = refl
62
63 lemma-checkInsert-wrong : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → checkInsert eq i x m ≡ nothing
64 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d p with lookupM i m
65 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') with eq x x'
66 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | yes q = contradiction q d
67 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | no q = refl
68
69 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} → _≡_ {_} {Maybe A} (just a) nothing → Whatever
70 lemma-just≢nothing ()
71
72 record checkInsertEqualProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (e : Maybe (FinMapMaybe n A)) : Set where
73   field
74      same : lookupM i m ≡ just x → just m ≡ e
75      new : lookupM i m ≡ nothing → just (insert i x m) ≡ e
76      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → nothing ≡ e
77
78 lift-checkInsertProof : {A : Set} {n : ℕ} {eq : EqInst A} {i : Fin n} {x : A} {m : FinMapMaybe n A} {e : Maybe (FinMapMaybe n A)} → checkInsertEqualProof eq i x m e → checkInsertProof eq i x m (checkInsert eq i x m ≡ e)
79 lift-checkInsertProof {_} {_} {eq} {i} {x} {m} o = record
80   { same  = λ p → trans (lemma-checkInsert-same eq i x m p) (checkInsertEqualProof.same o p)
81   ; new   = λ p → trans (lemma-checkInsert-new eq i x m p) (checkInsertEqualProof.new o p)
82   ; wrong = λ x' q p → trans (lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' q p) (checkInsertEqualProof.wrong o x' q p)
83   }
84
85 lemma-checkInsert-restrict : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (restrict f is) ≡ just (restrict f (i ∷ is))
86 lemma-checkInsert-restrict {τ} eq f i is = apply-checkInsertProof eq i (f i) (restrict f is) (lift-checkInsertProof record
87   { same  = λ lookupM≡justx → cong just (lemma-insert-same (restrict f is) i (f i) lookupM≡justx)
88   ; new   = λ lookupM≡nothing → refl
89   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → contradiction (lemma-lookupM-restrict i f is x' lookupM≡justx') x≢x'
90   })
91
92 lemma-1 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (is : List (Fin n)) → assoc eq is (map f is) ≡ just (restrict f is)
93 lemma-1 eq f []        = refl
94 lemma-1 eq f (i ∷ is′) = begin
95   assoc eq (i ∷ is′) (map f (i ∷ is′))
96     ≡⟨ refl ⟩
97   assoc eq is′ (map f is′) >>= checkInsert eq i (f i)
98     ≡⟨ cong (λ m → m >>= checkInsert eq i (f i)) (lemma-1 eq f is′) ⟩
99   just (restrict f is′) >>= (checkInsert eq i (f i))
100     ≡⟨ refl ⟩
101   checkInsert eq i (f i) (restrict f is′)
102     ≡⟨ lemma-checkInsert-restrict eq f i is′ ⟩
103   just (restrict f (i ∷ is′)) ∎
104
105 lemma-lookupM-assoc : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → (x : A) → (xs : List A) → (h : FinMapMaybe n A) → assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs) ≡ just h → lookupM i h ≡ just x
106 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p with assoc eq is xs
107 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    () | nothing
108 lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h    p | just h' = apply-checkInsertProof eq i x h' record
109   { same  = λ lookupM≡justx → begin
110       lookupM i h
111         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym p) (lemma-checkInsert-same eq i x h' lookupM≡justx))) ⟩
112       lookupM i h'
113         ≡⟨ lookupM≡justx ⟩
114       just x ∎
115   ; new   = λ lookupM≡nothing → begin
116       lookupM i h
117         ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (trans (sym p) (lemma-checkInsert-new eq i x h' lookupM≡nothing))) ⟩
118       lookupM i (insert i x h')
119         ≡⟨ lemma-lookupM-insert i x h' ⟩
120       just x ∎
121   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → lemma-just≢nothing (trans (sym p) (lemma-checkInsert-wrong eq i x h' x' x≢x' lookupM≡justx'))
122   }
123
124 lemma-2 : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (is : List (Fin n)) → (v : List τ) → (h : FinMapMaybe n τ) → assoc eq is v ≡ just h → map (flip lookupM h) is ≡ map just v
125 lemma-2 eq []       []       h p = refl
126 lemma-2 eq []       (x ∷ xs) h ()
127 lemma-2 eq (x ∷ xs) []       h ()
128 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p with assoc eq is xs | inspect (assoc eq is) xs
129 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h () | nothing | _
130 lemma-2 eq (i ∷ is) (x ∷ xs) h p | just h' | Reveal_is_.[_] ir = begin
131   map (flip lookupM h) (i ∷ is)
132     ≡⟨ refl ⟩
133   lookupM i h ∷ map (flip lookupM h) is
134     ≡⟨ cong (flip _∷_ (map (flip lookup h) is)) (lemma-lookupM-assoc eq i is x xs h (begin
135       assoc eq (i ∷ is) (x ∷ xs)
136         ≡⟨ cong (flip _>>=_ (checkInsert eq i x)) ir ⟩
137       checkInsert eq i x h'
138         ≡⟨ p ⟩
139       just h ∎) ) ⟩
140   just x ∷ map (flip lookupM h) is
141     ≡⟨  cong (_∷_ (just x)) {!!} ⟩
142   just x ∷ map (flip lookupM h') is
143     ≡⟨ cong (_∷_ (just x)) (lemma-2 eq is xs h' ir) ⟩
144   just x ∷ map just xs
145     ≡⟨ refl ⟩
146   map just (x ∷ xs) ∎
147
148 enumerate : {A : Set} → (l : List A) → List (Fin (length l))
149 enumerate l = toList (tabulate id)
150
151 denumerate : {A : Set} (l : List A) → Fin (length l) → A
152 denumerate l = flip lookupVec (fromList l)
153
154 bff : ({A : Set} → List A → List A) → ({B : Set} → EqInst B → List B → List B → Maybe (List B))
155 bff get eq s v = let s′ = enumerate s
156                      g  = fromFunc (denumerate s)
157                      h  = assoc eq (get s′) v
158                      h′ = fmap (flip union g) h
159                  in fmap (flip map s′ ∘ flip lookup) h′
160
161 postulate
162   free-theorem-list-list : {β γ : Set} → (get : {α : Set} → List α → List α) → (f : β → γ) → get ∘ map f ≗ map f ∘ get
163
164 toList-map-commutes : {A B : Set} {n : ℕ} → (f : A → B) → (v : Data.Vec.Vec A n) → (toList (Data.Vec.map f v)) ≡ map f (toList v)
165 toList-map-commutes f Data.Vec.[] = refl
166 toList-map-commutes f (x ∷V xs) = cong (_∷_ (f x)) (toList-map-commutes f xs)
167
168 lemma-map-denumerate-enumerate : {A : Set} → (as : List A) → map (denumerate as) (enumerate as) ≡ as
169 lemma-map-denumerate-enumerate [] = refl
170 lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
171   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (tabulate Fin.suc))
172     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) ∘ toList) (tabulate-∘ Fin.suc id) ⟩
173   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as))) (toList (Data.Vec.map Fin.suc (tabulate id)))
174     ≡⟨ cong (map (flip lookupVec (a ∷V fromList as))) (toList-map-commutes Data.Fin.suc (tabulate id)) ⟩
175   map (flip lookupVec (a ∷V fromList as)) (map Fin.suc (enumerate as))
176     ≡⟨ sym (map-∘ (enumerate as)) ⟩
177   map (flip lookupVec (a ∷V (fromList as)) ∘ Fin.suc) (enumerate as)
178     ≡⟨ refl ⟩
179   map (denumerate as) (enumerate as)
180     ≡⟨ lemma-map-denumerate-enumerate as ⟩
181   as ∎)
182
183 theorem-1 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (s : List τ) → bff get eq s (get s) ≡ just s
184 theorem-1 get eq s = begin
185   bff get eq s (get s)
186     ≡⟨ cong (bff get eq s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
187   bff get eq s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
188     ≡⟨ cong (bff get eq s) (free-theorem-list-list get (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
189   bff get eq s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
190     ≡⟨ refl ⟩
191   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (denumerate s))) (assoc eq (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s)))))
192     ≡⟨ cong (fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) ∘ fmap (flip union (fromFunc (denumerate s)))) (lemma-1 eq (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
193   fmap (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fmap (flip union (fromFunc (flip lookupVec (fromList s)))) (just (restrict (denumerate s) (get (enumerate s)))))
194     ≡⟨ refl ⟩
195   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (union (restrict (denumerate s) (get (enumerate s))) (fromFunc (denumerate s))))
196     ≡⟨ cong just (cong (flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (lemma-union-restrict (denumerate s) (get (enumerate s)))) ⟩
197   just ((flip map (enumerate s) ∘ flip lookup) (fromFunc (denumerate s)))
198     ≡⟨ refl ⟩
199   just (map (flip lookup (fromFunc (denumerate s))) (enumerate s))
200     ≡⟨ cong just (map-cong (lookup∘tabulate (denumerate s)) (enumerate s)) ⟩
201   just (map (denumerate s) (enumerate s))
202     ≡⟨ cong just (lemma-map-denumerate-enumerate s) ⟩
203   just s ∎
204
205 theorem-2 : (get : {α : Set} → List α → List α) → {τ : Set} → (eq : EqInst τ) → (v s u : List τ) → bff get eq s v ≡ just u → get u ≡ v
206 theorem-2 get eq v s u p = {!!}