Merge branch 'using-vec'
[~helmut/bidiragda.git] / CheckInsert.agda
1 module CheckInsert where
2
3 open import Data.Nat using (ℕ)
4 open import Data.Fin using (Fin)
5 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
6 open import Data.Maybe using (Maybe ; nothing ; just)
7 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_)
8 open import Relation.Nullary using (Dec ; yes ; no ; _)
9 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
10 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
11 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; inspect ; Reveal_is_ ; trans)
12 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
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14 open import FinMap
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16 EqInst : Set → Set
17 EqInst A = (x y : A) → Dec (x ≡ y)
18
19 checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → EqInst A → Fin n → A → FinMapMaybe n A → Maybe (FinMapMaybe n A)
20 checkInsert eq i b m with lookupM i m
21 checkInsert eq i b m | just c with eq b c
22 checkInsert eq i b m | just .b | yes refl = just m
23 checkInsert eq i b m | just c  | no p    = nothing
24 checkInsert eq i b m | nothing = just (insert i b m)
25
26 record checkInsertProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (P : Set) : Set where
27   field
28      same : lookupM i m ≡ just x → P
29      new : lookupM i m ≡ nothing → P
30      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x'  → P
31
32 apply-checkInsertProof : {A P : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → checkInsertProof eq i x m P → P
33 apply-checkInsertProof eq i x m rp with lookupM i m | inspect (lookupM i) m
34 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | il with eq x x'
35 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just .x | Reveal_is_.[_] il | yes refl = checkInsertProof.same rp il
36 apply-checkInsertProof eq i x m rp | just x' | Reveal_is_.[_] il | no x≢x' = checkInsertProof.wrong rp x' x≢x' il
37 apply-checkInsertProof eq i x m rp | nothing | Reveal_is_.[_] il = checkInsertProof.new rp il
38
39 lemma-checkInsert-same : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ just x → checkInsert eq i x m ≡ just m
40 lemma-checkInsert-same eq i x m p with lookupM i m
41 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) with eq x x
42 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | yes refl = refl
43 lemma-checkInsert-same eq i x m refl | .(just x) | no x≢x = contradiction refl x≢x
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45 lemma-checkInsert-new : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i m ≡ nothing → checkInsert eq i x m ≡ just (insert i x m)
46 lemma-checkInsert-new eq i x m p with lookupM i m
47 lemma-checkInsert-new eq i x m refl | .nothing = refl
48
49 lemma-checkInsert-wrong : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i : Fin n) → (x : A) → (m : FinMapMaybe n A) → (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → checkInsert eq i x m ≡ nothing
50 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d p with lookupM i m
51 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') with eq x x'
52 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | yes q = contradiction q d
53 lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' d refl | .(just x') | no q = refl
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55 record checkInsertEqualProof {A : Set} {n : ℕ} (eq : EqInst A) (i : Fin n) (x : A) (m : FinMapMaybe n A) (e : Maybe (FinMapMaybe n A)) : Set where
56   field
57      same : lookupM i m ≡ just x → just m ≡ e
58      new : lookupM i m ≡ nothing → just (insert i x m) ≡ e
59      wrong : (x' : A) → ¬(x ≡ x') → lookupM i m ≡ just x' → nothing ≡ e
60
61 lift-checkInsertProof : {A : Set} {n : ℕ} {eq : EqInst A} {i : Fin n} {x : A} {m : FinMapMaybe n A} {e : Maybe (FinMapMaybe n A)} → checkInsertEqualProof eq i x m e → checkInsertProof eq i x m (checkInsert eq i x m ≡ e)
62 lift-checkInsertProof {_} {_} {eq} {i} {x} {m} o = record
63   { same  = λ p → trans (lemma-checkInsert-same eq i x m p) (checkInsertEqualProof.same o p)
64   ; new   = λ p → trans (lemma-checkInsert-new eq i x m p) (checkInsertEqualProof.new o p)
65   ; wrong = λ x' q p → trans (lemma-checkInsert-wrong eq i x m x' q p) (checkInsertEqualProof.wrong o x' q p)
66   }
67
68 lemma-checkInsert-restrict : {τ : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst τ) → (f : Fin n → τ) → (i : Fin n) → (is : List (Fin n)) → checkInsert eq i (f i) (restrict f is) ≡ just (restrict f (i ∷ is))
69 lemma-checkInsert-restrict {τ} eq f i is = apply-checkInsertProof eq i (f i) (restrict f is) (lift-checkInsertProof record
70   { same  = λ lookupM≡justx → cong just (lemma-insert-same (restrict f is) i (f i) lookupM≡justx)
71   ; new   = λ lookupM≡nothing → refl
72   ; wrong = λ x' x≢x' lookupM≡justx' → contradiction (lemma-lookupM-restrict i f is x' lookupM≡justx') x≢x'
73   })
74
75 lemma-lookupM-checkInsert : {A : Set} {n : ℕ} → (eq : EqInst A) → (i j : Fin n) → (x y : A) → (h h' : FinMapMaybe n A) → lookupM i h ≡ just x → checkInsert eq j y h ≡ just h' → lookupM i h' ≡ just x
76 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' with lookupM j h | inspect (lookupM j) h
77 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h .(insert j y h) pl refl | nothing | pl' with i ≟ j
78 lemma-lookupM-checkInsert eq i .i x y h .(insert i y h) pl refl | nothing | Reveal_is_.[_] pl' | yes refl = lemma-just≢nothing (begin just x ≡⟨ sym pl ⟩ lookupM i h ≡⟨ pl' ⟩ (nothing ∎))
79 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h .(insert j y h) pl refl | nothing | pl' | no p = begin
80   lookupM i (insert j y h)
81     ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i j y h ¬p) ⟩
82   lookupM i h
83     ≡⟨ pl ⟩
84   just x ∎
85 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' | just z | pl' with eq y z
86 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl ph' | just .y | pl' | yes refl = begin
87   lookupM i h'
88     ≡⟨ cong (lookupM i) (lemma-from-just (sym ph')) ⟩
89   lookupM i h
90     ≡⟨ pl ⟩
91   just x ∎
92 lemma-lookupM-checkInsert eq i j x y h h' pl () | just z | pl' | no p