show a stronger lemma-checkInsert-restrict
[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
2
3 open import Level using () renaming (zero to â„“â‚€)
4 open import Data.Nat using (â„• ; zero ; suc)
5 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′) renaming (setoid to MaybeEq)
6 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
7 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
8 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate ; foldr) renaming (lookup to lookupVec ; map to mapV)
9 open import Data.Vec.Equality using ()
10 open Data.Vec.Equality.Equality using (_∷-cong_)
11 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
12 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
13 open import Data.Product using (_×_ ; _,_)
14 open import Function using (id ; _∘_ ; flip ; const)
15 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
16 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
17 open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid)
18 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_)
19 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; congâ‚‚)
20 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
21
22 open import Generic using (just-injective ; vecIsSetoid)
23
24 FinMapMaybe : â„• â†’ Set â†’ Set
25 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
26
27 lookupM : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMapMaybe n A â†’ Maybe A
28 lookupM = lookupVec
29
30 insert : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ A â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
31 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
32
33 empty : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMapMaybe n A
34 empty = replicate nothing
35
36 fromAscList : {A : Set} {n : â„•} â†’ List (Fin n Ã— A) â†’ FinMapMaybe n A
37 fromAscList []             = empty
38 fromAscList ((f , a) âˆ· xs) = insert f a (fromAscList xs)
39
40 FinMap : â„• â†’ Set â†’ Set
41 FinMap n A = Vec A n
42
43 lookup : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMap n A â†’ A
44 lookup = lookupVec
45
46 fromFunc : {A : Set} {n : â„•} â†’ (Fin n â†’ A) â†’ FinMap n A
47 fromFunc = tabulate
48
49 union : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMap n  A â†’ FinMap n A
50 union m1 m2 = fromFunc (λ f â†’ maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
51
52 restrict : {A : Set} {n : â„•} â†’ (Fin n â†’ A) â†’ List (Fin n) â†’ FinMapMaybe n A
53 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
54
55 delete : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
56 delete i m = m [ i ]≔ nothing
57
58 delete-many : {A : Set} {n m : â„•} â†’ Vec (Fin n) m â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
59 delete-many = flip (foldr (const _) delete)
60
61 partialize : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMap n A â†’ FinMapMaybe n A
62 partialize = mapV just
63
64 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} {ma : Maybe A} â†’ ma â‰¡ just a â†’ ma â‰¡ nothing  â†’ Whatever
65 lemma-just≢nothing refl ()
66
67 lemma-insert-same : {n : â„•} {A : Set} â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ (f : Fin n) â†’ (a : A) â†’ lookupM f m â‰¡ just a â†’ m â‰¡ insert f a m
68 lemma-insert-same         []       ()      a p
69 lemma-insert-same {suc n} (x âˆ· xs) zero    a p = cong (flip _∷_ xs) p
70 lemma-insert-same         (x âˆ· xs) (suc i) a p = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
71
72 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ lookupM {A} i empty â‰¡ nothing
73 lemma-lookupM-empty zero    = refl
74 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
75
76 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ (a : A) â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ lookupM i (insert i a m) â‰¡ just a
77 lemma-lookupM-insert zero    a (x âˆ· xs) = refl
78 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x âˆ· xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
79
80 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i j : Fin n) â†’ (a : A) â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ i â‰¢ j â†’ lookupM i m â‰¡ lookupM i (insert j a m)
81 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
82 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x âˆ· xs) p = refl
83 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x âˆ· xs) p = refl
84 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x âˆ· xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p âˆ˜ cong suc)
85
86 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ (a : A) â†’ lookupM i (restrict f is) â‰¡ just a â†’ f i â‰¡ a
87 lemma-lookupM-restrict i f []        a p = lemma-just≢nothing p (lemma-lookupM-empty i)
88 lemma-lookupM-restrict i f (i' âˆ· is) a p with i â‰Ÿ i'
89 lemma-lookupM-restrict i f (.i âˆ· is) a p | yes refl = just-injective (begin
90    just (f i)
91      â‰¡âŸ¨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) âŸ©
92    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
93      â‰¡âŸ¨ p âŸ©
94    just a âˆŽ)
95 lemma-lookupM-restrict i f (i' âˆ· is) a p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
96   lookupM i (restrict f is)
97     â‰¡âŸ¨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i' âŸ©
98   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
99     â‰¡âŸ¨ p âŸ©
100   just a âˆŽ)
101
102 lemma-tabulate-∘ : {n : â„•} {A : Set} â†’ {f g : Fin n â†’ A} â†’ f â‰— g â†’ tabulate f â‰¡ tabulate g
103 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
104 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = congâ‚‚ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g âˆ˜ suc))
105
106 lemma-partialize-fromFunc : {n : â„•} {A : Set} â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ partialize (fromFunc f) â‰¡ fromFunc (just âˆ˜ f)
107 lemma-partialize-fromFunc {zero}  f = refl
108 lemma-partialize-fromFunc {suc _} f = cong (_∷_ (just (f zero))) (lemma-partialize-fromFunc (f âˆ˜ suc))
109
110 lemma-lookupM-delete : {n : â„•} {A : Set} {i j : Fin n} â†’ (f : FinMapMaybe n A) â†’ i â‰¢ j â†’ lookupM i (delete j f) â‰¡ lookupM i f
111 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = zero}  (_ âˆ· _)  p with p refl
112 ...                                                      | ()
113 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ âˆ· _)  p = refl
114 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x âˆ· xs) p = refl
115 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x âˆ· xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p âˆ˜ cong suc)
116
117 lemma-union-restrict : {n : â„•} {A : Set} â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ union (restrict f is) (fromFunc f) â‰¡ fromFunc f
118 lemma-union-restrict {n} f is = lemma-tabulate-∘ (lemma-inner is)
119     where lemma-inner : (is : List (Fin n)) â†’ (j : Fin n) â†’ maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)) â‰¡ f j
120           lemma-inner []       j = begin
121             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j empty)
122               â‰¡âŸ¨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-empty j) âŸ©
123             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) nothing
124               â‰¡âŸ¨ refl âŸ©
125             lookup j (fromFunc f)
126               â‰¡âŸ¨ lookup∘tabulate f j âŸ©
127             f j âˆŽ
128           lemma-inner (i âˆ· is)  j with j â‰Ÿ i
129           lemma-inner (.j âˆ· is) j | yes refl = cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f)))
130                                                     (lemma-lookupM-insert j (f j) (restrict f is))
131           lemma-inner (i âˆ· is)  j | no j≢i = begin
132             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (insert i (f i) (restrict f is)))
133               â‰¡âŸ¨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (sym (lemma-lookupM-insert-other j i (f i) (restrict f is) j≢i)) âŸ©
134             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is))
135               â‰¡âŸ¨ lemma-inner is j âŸ©
136             f j âˆŽ