FinMap.agda

   1 module FinMap where
   2
   3 open import Level using () renaming (zero to ℓ₀)
   4 open import Data.Nat using (ℕ ; zero ; suc)
   5 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′) renaming (setoid to MaybeEq)
   6 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
   7 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
   8 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate ; foldr) renaming (lookup to lookupVec ; map to mapV)
   9 open import Data.Vec.Equality using ()
  10 open Data.Vec.Equality.Equality using (_∷-cong_)
  11 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
  12 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
  13 open import Data.Product using (_�_ ; _,_)
  14 open import Function using (id ; _∘_ ; flip ; const)
  15 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
  16 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
  17 open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid)
  18 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_)
  19 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; cong₂)
  20 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
  21
  22 open import Generic using (just-injective ; vecIsSetoid)
  23
  24 FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
  25 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
  26
  27 lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
  28 lookupM = lookupVec
  29
  30 insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
  31 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
  32
  33 empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
  34 empty = replicate nothing
  35
  36 fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
  37 fromAscList []             = empty
  38 fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
  39
  40 FinMap : ℕ → Set → Set
  41 FinMap n A = Vec A n
  42
  43 lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
  44 lookup = lookupVec
  45
  46 fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
  47 fromFunc = tabulate
  48
  49 union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
  50 union m1 m2 = fromFunc (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
  51
  52 restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
  53 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
  54
  55 delete : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
  56 delete i m = m [ i ]≔ nothing
  57
  58 delete-many : {A : Set} {n m : ℕ} → Vec (Fin n) m → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
  59 delete-many = flip (foldr (const _) delete)
  60
  61 partialize : {A : Set} {n : ℕ} → FinMap n A → FinMapMaybe n A
  62 partialize = mapV just
  63
  64 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} {ma : Maybe A} → ma ≡ just a → ma ≡ nothing  → Whatever
  65 lemma-just≢nothing refl ()
  66
  67 lemma-insert-same : {n : ℕ} {A : Set} → (m : FinMapMaybe n A) → (f : Fin n) → (a : A) → lookupM f m ≡ just a → m ≡ insert f a m
  68 lemma-insert-same         []       ()      a p
  69 lemma-insert-same {suc n} (x ∷ xs) zero    a p = cong (flip _∷_ xs) p
  70 lemma-insert-same         (x ∷ xs) (suc i) a p = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
  71
  72 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → lookupM {A} i empty ≡ nothing
  73 lemma-lookupM-empty zero    = refl
  74 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
  75
  76 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i (insert i a m) ≡ just a
  77 lemma-lookupM-insert zero    a (x ∷ xs) = refl
  78 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x ∷ xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
  79
  80 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : ℕ} → (i j : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i m ≡ lookupM i (insert j a m)
  81 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
  82 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x ∷ xs) p = refl
  83 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x ∷ xs) p = refl
  84 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p ∘ cong suc)
  85
  86 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → (a : A) → lookupM i (restrict f is) ≡ just a → f i ≡ a
  87 lemma-lookupM-restrict i f []        a p = lemma-just≢nothing p (lemma-lookupM-empty i)
  88 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p with i ≟ i'
  89 lemma-lookupM-restrict i f (.i ∷ is) a p | yes refl = just-injective (begin
  90    just (f i)
  91      ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) ⟩
  92    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
  93      ≡⟨ p ⟩
  94    just a ∎)
  95 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
  96   lookupM i (restrict f is)
  97     ≡⟨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i' ⟩
  98   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
  99     ≡⟨ p ⟩
 100   just a ∎)
 101
 102 lemma-tabulate-∘ : {n : ℕ} {A : Set} → {f g : Fin n → A} → f ≗ g → tabulate f ≡ tabulate g
 103 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
 104 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = cong₂ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g ∘ suc))
 105
 106 lemma-partialize-fromFunc : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → partialize (fromFunc f) ≡ fromFunc (just ∘ f)
 107 lemma-partialize-fromFunc {zero}  f = refl
 108 lemma-partialize-fromFunc {suc _} f = cong (_∷_ (just (f zero))) (lemma-partialize-fromFunc (f ∘ suc))
 109
 110 lemma-lookupM-delete : {n : ℕ} {A : Set} {i j : Fin n} → (f : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i (delete j f) ≡ lookupM i f
 111 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = zero}  (_ ∷ _)  p with p refl
 112 ...                                                      | ()
 113 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ ∷ _)  p = refl
 114 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x ∷ xs) p = refl
 115 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p ∘ cong suc)
 116
 117 lemma-union-restrict : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → union (restrict f is) (fromFunc f) ≡ fromFunc f
 118 lemma-union-restrict {n} f is = lemma-tabulate-∘ (lemma-inner is)
 119     where lemma-inner : (is : List (Fin n)) → (j : Fin n) → maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)) ≡ f j
 120           lemma-inner []       j = begin
 121             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j empty)
 122               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-empty j) ⟩
 123             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) nothing
 124               ≡⟨ refl ⟩
 125             lookup j (fromFunc f)
 126               ≡⟨ lookup∘tabulate f j ⟩
 127             f j ∎
 128           lemma-inner (i ∷ is)  j with j ≟ i
 129           lemma-inner (.j ∷ is) j | yes refl = cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f)))
 130                                                     (lemma-lookupM-insert j (f j) (restrict f is))
 131           lemma-inner (i ∷ is)  j | no j≢i = begin
 132             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (insert i (f i) (restrict f is)))
 133               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (sym (lemma-lookupM-insert-other j i (f i) (restrict f is) j≢i)) ⟩
 134             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is))
 135               ≡⟨ lemma-inner is j ⟩
 136             f j ∎