employ insertionresult in lemma-lookupM-checkInsert
[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
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3 open import Data.Nat using (â„• ; zero ; suc)
4 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′)
5 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
6 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
7 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec)
8 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
9 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
10 open import Data.Product using (_×_ ; _,_)
11 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
12 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
13 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
14 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_)
15 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; congâ‚‚)
16 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
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18 FinMapMaybe : â„• â†’ Set â†’ Set
19 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
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21 lookupM : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMapMaybe n A â†’ Maybe A
22 lookupM = lookupVec
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24 insert : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ A â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
25 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
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27 empty : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMapMaybe n A
28 empty = replicate nothing
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30 fromAscList : {A : Set} {n : â„•} â†’ List (Fin n Ã— A) â†’ FinMapMaybe n A
31 fromAscList []             = empty
32 fromAscList ((f , a) âˆ· xs) = insert f a (fromAscList xs)
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34 FinMap : â„• â†’ Set â†’ Set
35 FinMap n A = Vec A n
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37 lookup : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMap n A â†’ A
38 lookup = lookupVec
39
40 fromFunc : {A : Set} {n : â„•} â†’ (Fin n â†’ A) â†’ FinMap n A
41 fromFunc = tabulate
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43 union : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMap n  A â†’ FinMap n A
44 union m1 m2 = fromFunc (λ f â†’ maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
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46 restrict : {A : Set} {n : â„•} â†’ (Fin n â†’ A) â†’ List (Fin n) â†’ FinMapMaybe n A
47 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
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49 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} {ma : Maybe A} â†’ ma â‰¡ just a â†’ ma â‰¡ nothing  â†’ Whatever
50 lemma-just≢nothing refl ()
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52 lemma-insert-same : {Ï„ : Set} {n : â„•} â†’ (m : FinMapMaybe n Ï„) â†’ (f : Fin n) â†’ (a : Ï„) â†’ lookupM f m â‰¡ just a â†’ m â‰¡ insert f a m
53 lemma-insert-same []               ()      a p
54 lemma-insert-same (.(just a) âˆ· xs) zero    a refl = refl
55 lemma-insert-same (x âˆ· xs)         (suc i) a p    = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
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57 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ lookupM {A} i empty â‰¡ nothing
58 lemma-lookupM-empty zero    = refl
59 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
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61 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ (a : A) â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ lookupM i (insert i a m) â‰¡ just a
62 lemma-lookupM-insert zero    a (x âˆ· xs) = refl
63 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x âˆ· xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
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65 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i j : Fin n) â†’ (a : A) â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ i â‰¢ j â†’ lookupM i m â‰¡ lookupM i (insert j a m)
66 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
67 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x âˆ· xs) p = refl
68 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x âˆ· xs) p = refl
69 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x âˆ· xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p âˆ˜ cong suc)
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71 just-injective : {A : Set} â†’ {x y : A} â†’ _≡_ {_} {Maybe A} (just x) (just y) â†’ x â‰¡ y
72 just-injective refl = refl
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74 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ (a : A) â†’ lookupM i (restrict f is) â‰¡ just a â†’ f i â‰¡ a
75 lemma-lookupM-restrict i f []        a p = lemma-just≢nothing p (lemma-lookupM-empty i)
76 lemma-lookupM-restrict i f (i' âˆ· is) a p with i â‰Ÿ i'
77 lemma-lookupM-restrict i f (.i âˆ· is) a p | yes refl = just-injective (begin
78    just (f i)
79      â‰¡âŸ¨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) âŸ©
80    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
81      â‰¡âŸ¨ p âŸ©
82    just a âˆŽ)
83 lemma-lookupM-restrict i f (i' âˆ· is) a p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
84   lookupM i (restrict f is)
85     â‰¡âŸ¨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i' âŸ©
86   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
87     â‰¡âŸ¨ p âŸ©
88   just a âˆŽ)
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90 lemma-tabulate-∘ : {n : â„•} {A : Set} â†’ {f g : Fin n â†’ A} â†’ f â‰— g â†’ tabulate f â‰¡ tabulate g
91 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
92 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = congâ‚‚ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g âˆ˜ suc))
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94 lemma-union-restrict : {n : â„•} {A : Set} â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ union (restrict f is) (fromFunc f) â‰¡ fromFunc f
95 lemma-union-restrict {n} f is = begin
96   union (restrict f is) (fromFunc f)
97     â‰¡âŸ¨ refl âŸ©
98   tabulate (λ j â†’ maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)))
99     â‰¡âŸ¨ lemma-tabulate-∘ (lemma-inner is) âŸ©
100   tabulate f âˆŽ
101     where lemma-inner : (is : List (Fin n)) â†’ (j : Fin n) â†’ maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)) â‰¡ f j
102           lemma-inner []       j = begin
103             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j empty)
104               â‰¡âŸ¨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-empty j) âŸ©
105             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) nothing
106               â‰¡âŸ¨ refl âŸ©
107             lookup j (fromFunc f)
108               â‰¡âŸ¨ lookup∘tabulate f j âŸ©
109             f j âˆŽ
110           lemma-inner (i âˆ· is)  j with j â‰Ÿ i
111           lemma-inner (.j âˆ· is) j | yes refl = cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-insert j (f j) (restrict f is))
112           lemma-inner (i âˆ· is)  j | no j≢i = begin
113             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (insert i (f i) (restrict f is)))
114               â‰¡âŸ¨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (sym (lemma-lookupM-insert-other j i (f i) (restrict f is) j≢i)) âŸ©
115             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is))
116               â‰¡âŸ¨ lemma-inner is j âŸ©
117             f j âˆŽ