update bff implementation to use delete
[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
2
3 open import Data.Nat using (â„• ; zero ; suc)
4 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′)
5 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
6 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
7 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate ; foldr ; toList) renaming (lookup to lookupVec ; map to mapV)
8 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
9 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
10 open import Data.Product using (_×_ ; _,_)
11 open import Function using (id ; _∘_ ; flip ; const)
12 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
13 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
14 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_)
15 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; congâ‚‚)
16 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
17
18 open import Generic using (just-injective)
19
20 FinMapMaybe : â„• â†’ Set â†’ Set
21 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
22
23 lookupM : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMapMaybe n A â†’ Maybe A
24 lookupM = lookupVec
25
26 insert : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ A â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
27 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
28
29 empty : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMapMaybe n A
30 empty = replicate nothing
31
32 fromAscList : {A : Set} {n : â„•} â†’ List (Fin n Ã— A) â†’ FinMapMaybe n A
33 fromAscList []             = empty
34 fromAscList ((f , a) âˆ· xs) = insert f a (fromAscList xs)
35
36 FinMap : â„• â†’ Set â†’ Set
37 FinMap n A = Vec A n
38
39 lookup : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMap n A â†’ A
40 lookup = lookupVec
41
42 fromFunc : {A : Set} {n : â„•} â†’ (Fin n â†’ A) â†’ FinMap n A
43 fromFunc = tabulate
44
45 union : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
46 union m1 m2 = fromFunc (λ f â†’ maybe′ just (lookupM f m2) (lookupM f m1))
47
48 restrict : {A : Set} {n : â„•} â†’ (Fin n â†’ A) â†’ List (Fin n) â†’ FinMapMaybe n A
49 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
50
51 delete : {A : Set} {n : â„•} â†’ Fin n â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
52 delete i m = m [ i ]≔ nothing
53
54 delete-many : {A : Set} {n m : â„•} â†’ Vec (Fin n) m â†’ FinMapMaybe n A â†’ FinMapMaybe n A
55 delete-many = flip (foldr (const _) delete)
56
57 partialize : {A : Set} {n : â„•} â†’ FinMap n A â†’ FinMapMaybe n A
58 partialize = mapV just
59
60 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} {ma : Maybe A} â†’ ma â‰¡ just a â†’ ma â‰¡ nothing  â†’ Whatever
61 lemma-just≢nothing refl ()
62
63 lemma-insert-same : {Ï„ : Set} {n : â„•} â†’ (m : FinMapMaybe n Ï„) â†’ (f : Fin n) â†’ (a : Ï„) â†’ lookupM f m â‰¡ just a â†’ m â‰¡ insert f a m
64 lemma-insert-same []               ()      a p
65 lemma-insert-same (.(just a) âˆ· xs) zero    a refl = refl
66 lemma-insert-same (x âˆ· xs)         (suc i) a p    = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
67
68 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ lookupM {A} i empty â‰¡ nothing
69 lemma-lookupM-empty zero    = refl
70 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
71
72 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ (a : A) â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ lookupM i (insert i a m) â‰¡ just a
73 lemma-lookupM-insert zero    a (x âˆ· xs) = refl
74 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x âˆ· xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
75
76 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i j : Fin n) â†’ (a : A) â†’ (m : FinMapMaybe n A) â†’ i â‰¢ j â†’ lookupM i m â‰¡ lookupM i (insert j a m)
77 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
78 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x âˆ· xs) p = refl
79 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x âˆ· xs) p = refl
80 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x âˆ· xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p âˆ˜ cong suc)
81
82 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : â„•} â†’ (i : Fin n) â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ (is : List (Fin n)) â†’ (a : A) â†’ lookupM i (restrict f is) â‰¡ just a â†’ f i â‰¡ a
83 lemma-lookupM-restrict i f []        a p = lemma-just≢nothing p (lemma-lookupM-empty i)
84 lemma-lookupM-restrict i f (i' âˆ· is) a p with i â‰Ÿ i'
85 lemma-lookupM-restrict i f (.i âˆ· is) a p | yes refl = just-injective (begin
86    just (f i)
87      â‰¡âŸ¨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) âŸ©
88    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
89      â‰¡âŸ¨ p âŸ©
90    just a âˆŽ)
91 lemma-lookupM-restrict i f (i' âˆ· is) a p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
92   lookupM i (restrict f is)
93     â‰¡âŸ¨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i' âŸ©
94   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
95     â‰¡âŸ¨ p âŸ©
96   just a âˆŽ)
97
98 lemma-tabulate-∘ : {n : â„•} {A : Set} â†’ {f g : Fin n â†’ A} â†’ f â‰— g â†’ tabulate f â‰¡ tabulate g
99 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
100 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = congâ‚‚ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g âˆ˜ suc))
101
102 lemma-partialize-fromFunc : {n : â„•} {A : Set} â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ partialize (fromFunc f) â‰¡ fromFunc (just âˆ˜ f)
103 lemma-partialize-fromFunc {zero}  f = refl
104 lemma-partialize-fromFunc {suc _} f = cong (_∷_ (just (f zero))) (lemma-partialize-fromFunc (f âˆ˜ suc))
105
106 lemma-lookupM-delete : {n : â„•} {A : Set} {i j : Fin n} â†’ (f : FinMapMaybe n A) â†’ i â‰¢ j â†’ lookupM i (delete j f) â‰¡ lookupM i f
107 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = zero}  (_ âˆ· _)  p with p refl
108 ...                                                      | ()
109 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ âˆ· _)  p = refl
110 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x âˆ· xs) p = refl
111 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x âˆ· xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p âˆ˜ cong suc)
112
113 lemma-disjoint-union : {n m : â„•} {A : Set} â†’ (f : Fin n â†’ A) â†’ (t : Vec (Fin n) m) â†’ union (restrict f (toList t)) (delete-many t (partialize (fromFunc f))) â‰¡ partialize (fromFunc f)
114 lemma-disjoint-union {n} {m} f t = trans (lemma-tabulate-∘ (lemma-inner t)) (sym (lemma-partialize-fromFunc f))
115     where lemma-inner : {m : â„•} â†’ (t : Vec (Fin n) m) â†’ (x : Fin n) â†’ maybe′ just (lookupM x (delete-many t (partialize (fromFunc f)))) (lookupM x (restrict f (toList t))) â‰¡ just (f x)
116           lemma-inner [] x = begin
117             maybe′ just (lookupM x (partialize (fromFunc f))) (lookupM x empty)
118               â‰¡âŸ¨ cong (maybe′ just (lookupM x (partialize (fromFunc f)))) (lemma-lookupM-empty x) âŸ©
119             lookupM x (partialize (fromFunc f))
120               â‰¡âŸ¨ cong (lookupM x) (lemma-partialize-fromFunc f) âŸ©
121             lookupM x (fromFunc (just âˆ˜ f))
122               â‰¡âŸ¨ lookup∘tabulate (just âˆ˜ f) x âŸ©
123             just (f x) âˆŽ
124           lemma-inner (t âˆ· ts) x with x â‰Ÿ t
125           lemma-inner (.x âˆ· ts) x | yes refl = cong (maybe′ just (lookupM x (delete-many (x âˆ· ts) (partialize (fromFunc f))))) (lemma-lookupM-insert x (f x) (restrict f (toList ts)))
126           lemma-inner (t âˆ· ts) x | no Â¬p = begin
127             maybe′ just (lookupM x (delete-many (t âˆ· ts) (partialize (fromFunc f)))) (lookupM x (restrict f (toList (t âˆ· ts))))
128               â‰¡âŸ¨ cong (maybe′ just (lookupM x (delete-many (t âˆ· ts) (partialize (fromFunc f))))) (sym (lemma-lookupM-insert-other x t (f t) (restrict f (toList ts)) Â¬p)) âŸ©
129             maybe′ just (lookupM x (delete-many (t âˆ· ts) (partialize (fromFunc f)))) (lookupM x (restrict f (toList ts)))
130               â‰¡âŸ¨ cong (flip (maybe′ just) (lookupM x (restrict f (toList ts)))) (lemma-lookupM-delete (delete-many ts (partialize (fromFunc f))) Â¬p) âŸ©
131             maybe′ just (lookupM x (delete-many ts (partialize (fromFunc f)))) (lookupM x (restrict f (toList ts)))
132               â‰¡âŸ¨ lemma-inner ts x âŸ©
133             just (f x) âˆŽ