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[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
2
3 open import Level using () renaming (zero to ℓ₀)
4 open import Data.Nat using (ℕ ; zero ; suc)
5 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′)
6 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
7 open import Data.Fin.Properties using (_≟_)
8 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate ; foldr ; zip ; toList) renaming (lookup to lookupVec ; map to mapV)
9 open import Data.Vec.Equality using ()
10 open import Data.Product using (__ ; _,_)
11 open import Data.List.All as All using (All)
12 import Data.List.All.Properties as AllP
13 import Data.List.Any as Any
14 open import Function using (id ; _∘_ ; flip ; const)
15 open import Function.Equality using (module Π)
16 open import Function.Surjection using (module Surjection)
17 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
18 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
19 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_ ; Decidable)
20 open import Relation.Binary.PropositionalEquality as P using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; cong₂)
21 open P.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
22
23 open import Generic using (just-injective)
24
25 _∈_ : {A : Set} {n : ℕ} → A → Vec A n → Set
26 _∈_ {A} x xs = Any.Membership._∈_ (P.setoid A) x (toList xs)
27
28 _∉_ : {A : Set} {n : ℕ} → A → Vec A n → Set
29 _∉_ {A} x xs = All (_≢_ x) (toList xs)
30
31 data Dec∈ {A : Set} {n : ℕ} (x : A) (xs : Vec A n) : Set where
32   yes-∈ : x ∈ xs → Dec∈ x xs
33   no-∉ : x ∉ xs → Dec∈ x xs
34
35 is-∈ : {A : Set} {n : ℕ} → Decidable (_≡_ {A = A}) → (x : A) → (xs : Vec A n) → Dec∈ x xs
36 is-∈ eq? x xs with Any.any (eq? x) (toList xs)
37 ...     | yes x∈xs = yes-∈ x∈xs
38 ...     | no  x∉xs = no-∉ (Π._⟨$⟩_ (Surjection.to AllP.¬Any↠All¬) x∉xs)
39
40 FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
41 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
42
43 lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
44 lookupM = lookupVec
45
46 insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
47 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
48
49 empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
50 empty = replicate nothing
51
52 fromAscList : {A : Set} {n m : ℕ} → Vec (Fin n × A) m → FinMapMaybe n A
53 fromAscList []             = empty
54 fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
55
56 fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMapMaybe n A
57 fromFunc = tabulate ∘ _∘_ Maybe.just
58
59 reshape : {n : ℕ} {A : Set} → FinMapMaybe n A → (l : ℕ) → FinMapMaybe l A
60 reshape m        zero    = []
61 reshape []       (suc l) = nothing ∷ (reshape [] l)
62 reshape (x ∷ xs) (suc l) = x ∷ (reshape xs l)
63
64 union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
65 union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ just (lookupM f m2) (lookupM f m1))
66
67 restrict : {A : Set} {n m : ℕ} → (Fin n → A) → Vec (Fin n) m → FinMapMaybe n A
68 restrict f is = fromAscList (zip is (mapV f is))
69
70 delete : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
71 delete i m = m [ i ]≔ nothing
72
73 delete-many : {A : Set} {n m : ℕ} → Vec (Fin n) m → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
74 delete-many = flip (foldr (const _) delete)
75
76 lemma-insert-same : {n : ℕ} {A : Set} → (m : FinMapMaybe n A) → (f : Fin n) → {a : A} → lookupM f m ≡ just a → m ≡ insert f a m
77 lemma-insert-same         []       ()      p
78 lemma-insert-same {suc n} (x ∷ xs) zero    p = cong (flip _∷_ xs) p
79 lemma-insert-same         (x ∷ xs) (suc i) p = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i p)
80
81 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → lookupM {A} i empty ≡ nothing
82 lemma-lookupM-empty zero    = refl
83 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
84
85 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i (insert i a m) ≡ just a
86 lemma-lookupM-insert zero    a (x ∷ xs) = refl
87 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x ∷ xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
88
89 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : ℕ} → (i j : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i (insert j a m) ≡ lookupM i m
90 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
91 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x ∷ xs) p = refl
92 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x ∷ xs) p = refl
93 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p ∘ cong suc)
94
95 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n m : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (is : Vec (Fin n) m) → {a : A} → lookupM i (restrict f is) ≡ just a → f i ≡ a
96 lemma-lookupM-restrict i f []            p = contradiction (trans (sym p) (lemma-lookupM-empty i)) (λ ())
97 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is)     p with i ≟ i'
98 lemma-lookupM-restrict i f (.i ∷ is) {a} p | yes refl = just-injective (begin
99    just (f i)
100      ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) ⟩
101    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
102      ≡⟨ p ⟩
103    just a ∎)
104 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) {a} p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is (begin
105   lookupM i (restrict f is)
106     ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i') ⟩
107   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
108     ≡⟨ p ⟩
109   just a ∎)
110 lemma-lookupM-restrict-∈ : {A : Set} {n m : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (js : Vec (Fin n) m) → i ∈ js → lookupM i (restrict f js) ≡ just (f i)
111 lemma-lookupM-restrict-∈ i f [] ()
112 lemma-lookupM-restrict-∈ i f (j ∷ js)  p             with i ≟ j
113 lemma-lookupM-restrict-∈ i f (.i ∷ js) p             | yes refl = lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f js)
114 lemma-lookupM-restrict-∈ i f (j ∷ js) (Any.here i≡j) | no i≢j = contradiction i≡j i≢j
115 lemma-lookupM-restrict-∈ i f (j ∷ js) (Any.there p)  | no i≢j =
116   trans (lemma-lookupM-insert-other i j (f j) (restrict f js) i≢j)
117         (lemma-lookupM-restrict-∈ i f js p)
118
119 lemma-lookupM-restrict-∉ : {A : Set} {n m : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (js : Vec (Fin n) m) → i ∉ js → lookupM i (restrict f js) ≡ nothing
120 lemma-lookupM-restrict-∉ i f []       i∉[]  = lemma-lookupM-empty i
121 lemma-lookupM-restrict-∉ i f (j ∷ js) i∉jjs =
122   trans (lemma-lookupM-insert-other i j (f j) (restrict f js) (All.head i∉jjs))
123         (lemma-lookupM-restrict-∉ i f js (All.tail i∉jjs))
124
125 lemma-tabulate-∘ : {n : ℕ} {A : Set} → {f g : Fin n → A} → f ≗ g → tabulate f ≡ tabulate g
126 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
127 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = cong₂ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g ∘ suc))
128
129 lemma-lookupM-fromFunc : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → flip lookupM (fromFunc f) ≗ Maybe.just ∘ f
130 lemma-lookupM-fromFunc f zero = refl
131 lemma-lookupM-fromFunc f (suc i) = lemma-lookupM-fromFunc (f ∘ suc) i
132
133 lemma-lookupM-delete : {n : ℕ} {A : Set} {i j : Fin n} → (f : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i (delete j f) ≡ lookupM i f
134 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = zero}  (_ ∷ _)  p = contradiction refl p
135 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ ∷ _)  p = refl
136 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x ∷ xs) p = refl
137 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p ∘ cong suc)
138
139 lemma-lookupM-delete-many : {n m : ℕ} {A : Set} (h : FinMapMaybe n A) → (i : Fin n) → (js : Vec (Fin n) m) → i ∉ js → lookupM i (delete-many js h) ≡ lookupM i h
140 lemma-lookupM-delete-many {n} h i []       i∉[]  = refl
141 lemma-lookupM-delete-many {n} h i (j ∷ js) i∉jjs =
142   trans (lemma-lookupM-delete (delete-many js h) (All.head i∉jjs))
143         (lemma-lookupM-delete-many h i js (All.tail i∉jjs))
144
145 lemma-reshape-id : {n : ℕ} {A : Set} → (m : FinMapMaybe n A) → reshape m n ≡ m
146 lemma-reshape-id []       = refl
147 lemma-reshape-id (x ∷ xs) = cong (_∷_ x) (lemma-reshape-id xs)
148
149 lemma-disjoint-union : {n m : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → (t : Vec (Fin n) m) → union (restrict f t) (delete-many t (fromFunc f)) ≡ fromFunc f
150 lemma-disjoint-union {n} f t = lemma-tabulate-∘ inner
151   where inner : (x : Fin n) → maybe′ just (lookupM x (delete-many t (fromFunc f))) (lookupM x (restrict f t)) ≡ just (f x)
152         inner x with is-∈ _≟_ x t
153         inner x | yes-∈ x∈t = cong (maybe′ just (lookupM x (delete-many t (fromFunc f)))) (lemma-lookupM-restrict-∈ x f t x∈t)
154         inner x | no-∉ x∉t = begin
155           maybe′ just (lookupM x (delete-many t (fromFunc f))) (lookupM x (restrict f t))
156             ≡⟨ cong₂ (maybe′ just) (lemma-lookupM-delete-many (fromFunc f) x t x∉t) (lemma-lookupM-restrict-∉ x f t x∉t) ⟩
157           maybe′ just (lookupM x (fromFunc f)) nothing
158             ≡⟨ lemma-lookupM-fromFunc f x ⟩
159           just (f x) ∎