move generic functions to a new Generic module
[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
2
3 open import Data.Nat using (ℕ ; zero ; suc)
4 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′)
5 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
6 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
7 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate ; foldr) renaming (lookup to lookupVec ; map to mapV)
8 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
9 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
10 open import Data.Product using (__ ; _,_)
11 open import Function using (id ; _∘_ ; flip ; const)
12 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
13 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
14 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_)
15 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; cong₂)
16 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
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18 open import Generic using (just-injective)
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20 FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
21 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
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23 lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
24 lookupM = lookupVec
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26 insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
27 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
28
29 empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
30 empty = replicate nothing
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32 fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
33 fromAscList []             = empty
34 fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
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36 FinMap : ℕ → Set → Set
37 FinMap n A = Vec A n
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39 lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
40 lookup = lookupVec
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42 fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
43 fromFunc = tabulate
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45 union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
46 union m1 m2 = fromFunc (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
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48 restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
49 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
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51 delete : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
52 delete i m = m [ i ]≔ nothing
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54 delete-many : {A : Set} {n m : ℕ} → Vec (Fin n) m → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
55 delete-many = flip (foldr (const _) delete)
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57 partialize : {A : Set} {n : ℕ} → FinMap n A → FinMapMaybe n A
58 partialize = mapV just
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60 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} {ma : Maybe A} → ma ≡ just a → ma ≡ nothing  → Whatever
61 lemma-just≢nothing refl ()
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63 lemma-insert-same : {τ : Set} {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n τ) → (f : Fin n) → (a : τ) → lookupM f m ≡ just a → m ≡ insert f a m
64 lemma-insert-same []               ()      a p
65 lemma-insert-same (.(just a) ∷ xs) zero    a refl = refl
66 lemma-insert-same (x ∷ xs)         (suc i) a p    = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
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68 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → lookupM {A} i empty ≡ nothing
69 lemma-lookupM-empty zero    = refl
70 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
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72 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i (insert i a m) ≡ just a
73 lemma-lookupM-insert zero    a (x ∷ xs) = refl
74 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x ∷ xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
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76 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : ℕ} → (i j : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i m ≡ lookupM i (insert j a m)
77 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
78 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x ∷ xs) p = refl
79 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x ∷ xs) p = refl
80 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p ∘ cong suc)
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82 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → (a : A) → lookupM i (restrict f is) ≡ just a → f i ≡ a
83 lemma-lookupM-restrict i f []        a p = lemma-just≢nothing p (lemma-lookupM-empty i)
84 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p with i ≟ i'
85 lemma-lookupM-restrict i f (.i ∷ is) a p | yes refl = just-injective (begin
86    just (f i)
87      ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) ⟩
88    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
89      ≡⟨ p ⟩
90    just a ∎)
91 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
92   lookupM i (restrict f is)
93     ≡⟨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i' ⟩
94   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
95     ≡⟨ p ⟩
96   just a ∎)
97
98 lemma-tabulate-∘ : {n : ℕ} {A : Set} → {f g : Fin n → A} → f ≗ g → tabulate f ≡ tabulate g
99 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
100 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = cong₂ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g ∘ suc))
101
102 lemma-partialize-fromFunc : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → partialize (fromFunc f) ≡ fromFunc (just ∘ f)
103 lemma-partialize-fromFunc {zero}  f = refl
104 lemma-partialize-fromFunc {suc _} f = cong (_∷_ (just (f zero))) (lemma-partialize-fromFunc (f ∘ suc))
105
106 lemma-lookupM-delete : {n : ℕ} {A : Set} {i j : Fin n} → (f : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i (delete j f) ≡ lookupM i f
107 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = zero}  (_ ∷ _)  p with p refl
108 ...                                                      | ()
109 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ ∷ _)  p = refl
110 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x ∷ xs) p = refl
111 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p ∘ cong suc)
112
113 lemma-union-restrict : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → union (restrict f is) (fromFunc f) ≡ fromFunc f
114 lemma-union-restrict {n} f is = lemma-tabulate-∘ (lemma-inner is)
115     where lemma-inner : (is : List (Fin n)) → (j : Fin n) → maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)) ≡ f j
116           lemma-inner []       j = begin
117             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j empty)
118               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-empty j) ⟩
119             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) nothing
120               ≡⟨ refl ⟩
121             lookup j (fromFunc f)
122               ≡⟨ lookup∘tabulate f j ⟩
123             f j ∎
124           lemma-inner (i ∷ is)  j with j ≟ i
125           lemma-inner (.j ∷ is) j | yes refl = cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f)))
126                                                     (lemma-lookupM-insert j (f j) (restrict f is))
127           lemma-inner (i ∷ is)  j | no j≢i = begin
128             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (insert i (f i) (restrict f is)))
129               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (sym (lemma-lookupM-insert-other j i (f i) (restrict f is) j≢i)) ⟩
130             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is))
131               ≡⟨ lemma-inner is j ⟩
132             f j ∎