generalize lemma-insert-same to arbitrary Setoids
[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
2
3 open import Level using () renaming (zero to ℓ₀)
4 open import Data.Nat using (ℕ ; zero ; suc)
5 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′) renaming (setoid to MaybeEq)
6 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
7 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
8 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate ; foldr) renaming (lookup to lookupVec ; map to mapV)
9 open import Data.Vec.Equality using ()
10 open Data.Vec.Equality.Equality using (_∷-cong_)
11 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
12 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
13 open import Data.Product using (__ ; _,_)
14 open import Function using (id ; _∘_ ; flip ; const)
15 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
16 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction)
17 open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid)
18 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl ; _≢_)
19 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_ ; trans ; cong₂)
20 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
21
22 open import Generic using (just-injective ; vecIsSetoid)
23
24 FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
25 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
26
27 lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
28 lookupM = lookupVec
29
30 insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
31 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
32
33 empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
34 empty = replicate nothing
35
36 fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
37 fromAscList []             = empty
38 fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
39
40 FinMap : ℕ → Set → Set
41 FinMap n A = Vec A n
42
43 lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
44 lookup = lookupVec
45
46 fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
47 fromFunc = tabulate
48
49 union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
50 union m1 m2 = fromFunc (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
51
52 restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
53 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
54
55 delete : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
56 delete i m = m [ i ]≔ nothing
57
58 delete-many : {A : Set} {n m : ℕ} → Vec (Fin n) m → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
59 delete-many = flip (foldr (const _) delete)
60
61 partialize : {A : Set} {n : ℕ} → FinMap n A → FinMapMaybe n A
62 partialize = mapV just
63
64 lemma-just≢nothing : {A Whatever : Set} {a : A} {ma : Maybe A} → ma ≡ just a → ma ≡ nothing  → Whatever
65 lemma-just≢nothing refl ()
66
67 module Private {S : Setoid ℓ₀ ℓ₀} where
68   private
69     open Setoid S
70     reflMaybe = Setoid.refl (MaybeEq S)
71     _≈Maybe_ = Setoid._≈_ (MaybeEq S)
72
73   lemma-insert-same : {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n Carrier) → (f : Fin n) → (a : Carrier) → lookupM f m ≈Maybe just a → Setoid._≈_ (vecIsSetoid (MaybeEq S) n) m (insert f a m)
74   lemma-insert-same         []       ()      a p
75   lemma-insert-same {suc n} (x ∷ xs) zero    a p = p ∷-cong Setoid.refl (vecIsSetoid (MaybeEq S) n)
76   lemma-insert-same         (x ∷ xs) (suc i) a p = reflMaybe ∷-cong lemma-insert-same xs i a p
77
78 open Private public
79
80 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → lookupM {A} i empty ≡ nothing
81 lemma-lookupM-empty zero    = refl
82 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
83
84 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i (insert i a m) ≡ just a
85 lemma-lookupM-insert zero    a (x ∷ xs) = refl
86 lemma-lookupM-insert (suc i) a (x ∷ xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
87
88 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : ℕ} → (i j : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i m ≡ lookupM i (insert j a m)
89 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
90 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x ∷ xs) p = refl
91 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x ∷ xs) p = refl
92 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (p ∘ cong suc)
93
94 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → (a : A) → lookupM i (restrict f is) ≡ just a → f i ≡ a
95 lemma-lookupM-restrict i f []        a p = lemma-just≢nothing p (lemma-lookupM-empty i)
96 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p with i ≟ i'
97 lemma-lookupM-restrict i f (.i ∷ is) a p | yes refl = just-injective (begin
98    just (f i)
99      ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) ⟩
100    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
101      ≡⟨ p ⟩
102    just a ∎)
103 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p | no i≢i' = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
104   lookupM i (restrict f is)
105     ≡⟨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) i≢i' ⟩
106   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
107     ≡⟨ p ⟩
108   just a ∎)
109
110 lemma-tabulate-∘ : {n : ℕ} {A : Set} → {f g : Fin n → A} → f ≗ g → tabulate f ≡ tabulate g
111 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
112 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = cong₂ _∷_ (f≗g zero) (lemma-tabulate-∘ (f≗g ∘ suc))
113
114 lemma-partialize-fromFunc : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → partialize (fromFunc f) ≡ fromFunc (just ∘ f)
115 lemma-partialize-fromFunc {zero}  f = refl
116 lemma-partialize-fromFunc {suc _} f = cong (_∷_ (just (f zero))) (lemma-partialize-fromFunc (f ∘ suc))
117
118 lemma-lookupM-delete : {n : ℕ} {A : Set} {i j : Fin n} → (f : FinMapMaybe n A) → i ≢ j → lookupM i (delete j f) ≡ lookupM i f
119 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = zero}  (_ ∷ _)  p with p refl
120 ...                                                      | ()
121 lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ ∷ _)  p = refl
122 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x ∷ xs) p = refl
123 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p ∘ cong suc)
124
125 lemma-union-restrict : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → union (restrict f is) (fromFunc f) ≡ fromFunc f
126 lemma-union-restrict {n} f is = lemma-tabulate-∘ (lemma-inner is)
127     where lemma-inner : (is : List (Fin n)) → (j : Fin n) → maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)) ≡ f j
128           lemma-inner []       j = begin
129             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j empty)
130               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-empty j) ⟩
131             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) nothing
132               ≡⟨ refl ⟩
133             lookup j (fromFunc f)
134               ≡⟨ lookup∘tabulate f j ⟩
135             f j ∎
136           lemma-inner (i ∷ is)  j with j ≟ i
137           lemma-inner (.j ∷ is) j | yes refl = cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f)))
138                                                     (lemma-lookupM-insert j (f j) (restrict f is))
139           lemma-inner (i ∷ is)  j | no j≢i = begin
140             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (insert i (f i) (restrict f is)))
141               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (sym (lemma-lookupM-insert-other j i (f i) (restrict f is) j≢i)) ⟩
142             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is))
143               ≡⟨ lemma-inner is j ⟩
144             f j ∎