avoid a sym in lemma-union-restrict
[~helmut/bidiragda.git] / FinMap.agda
1 module FinMap where
2
3 open import Data.Nat using (ℕ ; zero ; suc)
4 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing ; maybe′)
5 open import Data.Fin using (Fin ; zero ; suc)
6 open import Data.Fin.Props using (_≟_)
7 open import Data.Vec using (Vec ; [] ; _∷_ ; _[_]≔_ ; replicate ; tabulate) renaming (lookup to lookupVec)
8 open import Data.Vec.Properties using (lookup∘tabulate)
9 open import Data.List using (List ; [] ; _∷_ ; map ; zip)
10 open import Data.Product using (__ ; _,_)
11 open import Function using (id ; _∘_ ; flip)
12 open import Relation.Nullary using (_ ; yes ; no)
13 open import Relation.Nullary.Negation using (contradiction ; contraposition)
14 open import Relation.Binary.Core using (_≡_ ; refl)
15 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (cong ; sym ; _≗_)
16 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
17
18 FinMapMaybe : ℕ → Set → Set
19 FinMapMaybe n A = Vec (Maybe A) n
20
21 lookupM : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMapMaybe n A → Maybe A
22 lookupM = lookupVec
23
24 insert : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
25 insert f a m = m [ f ]≔ (just a)
26
27 empty : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A
28 empty = replicate nothing
29
30 fromAscList : {A : Set} {n : ℕ} → List (Fin n × A) → FinMapMaybe n A
31 fromAscList []             = empty
32 fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
33
34 FinMap : ℕ → Set → Set
35 FinMap n A = Vec A n
36
37 lookup : {A : Set} {n : ℕ} → Fin n → FinMap n A → A
38 lookup = lookupVec
39
40 fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMap n A
41 fromFunc = tabulate
42
43 union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMap n  A → FinMap n A
44 union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ id (lookup f m2) (lookupM f m1))
45
46 restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → List (Fin n) → FinMapMaybe n A
47 restrict f is = fromAscList (zip is (map f is))
48
49
50 lemma-insert-same : {τ : Set} {n : ℕ} → (m : FinMapMaybe n τ) → (f : Fin n) → (a : τ) → lookupM f m ≡ just a → m ≡ insert f a m
51 lemma-insert-same []               ()      a p
52 lemma-insert-same (.(just a) ∷ xs) zero    a refl = refl
53 lemma-insert-same (x ∷ xs)         (suc i) a p    = cong (_∷_ x) (lemma-insert-same xs i a p)
54
55 lemma-lookupM-empty : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → lookupM {A} i empty ≡ nothing
56 lemma-lookupM-empty zero    = refl
57 lemma-lookupM-empty (suc i) = lemma-lookupM-empty i
58
59 lemma-lookupM-insert : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → lookupM i (insert i a m) ≡ just a
60 lemma-lookupM-insert zero    _ (_ ∷ _)  = refl
61 lemma-lookupM-insert (suc i) a (_ ∷ xs) = lemma-lookupM-insert i a xs
62
63 lemma-lookupM-insert-other : {A : Set} {n : ℕ} → (i j : Fin n) → (a : A) → (m : FinMapMaybe n A) → ¬(i ≡ j) → lookupM i m ≡ lookupM i (insert j a m)
64 lemma-lookupM-insert-other zero    zero    a m        p = contradiction refl p
65 lemma-lookupM-insert-other zero    (suc j) a (x ∷ xs) p = refl
66 lemma-lookupM-insert-other (suc i) zero    a (x ∷ xs) p = refl
67 lemma-lookupM-insert-other (suc i) (suc j) a (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-insert-other i j a xs (contraposition (cong suc) p)
68
69 lemma-from-just : {A : Set} → {x y : A} → _≡_ {_} {Maybe A} (just x) (just y) → x ≡ y
70 lemma-from-just refl = refl
71
72 lemma-lookupM-restrict : {A : Set} {n : ℕ} → (i : Fin n) → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → (a : A) → lookupM i (restrict f is) ≡ just a → f i ≡ a
73 lemma-lookupM-restrict {A} i f [] a p with begin
74   just a
75     ≡⟨ sym p ⟩
76   lookupM i (restrict f [])
77     ≡⟨ refl ⟩
78   lookupM i empty
79     ≡⟨ lemma-lookupM-empty i ⟩
80   nothing ∎
81 lemma-lookupM-restrict i f [] a p | ()
82 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p with i ≟ i'
83 lemma-lookupM-restrict i f (.i ∷ is) a p | yes refl = lemma-from-just (begin
84    just (f i)
85      ≡⟨ sym (lemma-lookupM-insert i (f i) (restrict f is)) ⟩
86    lookupM i (insert i (f i) (restrict f is))
87      ≡⟨ refl ⟩
88    lookupM i (restrict f (i ∷ is))
89      ≡⟨ p ⟩
90    just a ∎)
91 lemma-lookupM-restrict i f (i' ∷ is) a p | no ¬p2 = lemma-lookupM-restrict i f is a (begin
92   lookupM i (restrict f is)
93     ≡⟨ lemma-lookupM-insert-other i i' (f i') (restrict f is) ¬p2 ⟩
94   lookupM i (insert i' (f i') (restrict f is))
95     ≡⟨ refl ⟩
96   lookupM i (restrict f (i' ∷ is))
97     ≡⟨ p ⟩
98   just a ∎)
99
100 lemma-tabulate-∘ : {n : ℕ} {A : Set} → {f g : Fin n → A} → f ≗ g → tabulate f ≡ tabulate g
101 lemma-tabulate-∘ {zero}  {_} {f} {g} f≗g = refl
102 lemma-tabulate-∘ {suc n} {_} {f} {g} f≗g = begin
103   f zero ∷ tabulate (f ∘ suc)
104     ≡⟨ cong (flip Vec._∷_ (tabulate (f ∘ suc))) (f≗g zero) ⟩
105   g zero ∷ tabulate (f ∘ suc)
106     ≡⟨ cong (Vec._∷_ (g zero)) (lemma-tabulate-∘ (f≗g ∘ suc)) ⟩
107   g zero ∷ tabulate (g ∘ suc) ∎
108
109 lemma-union-restrict : {n : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → union (restrict f is) (fromFunc f) ≡ fromFunc f
110 lemma-union-restrict f is = begin
111   union (restrict f is) (fromFunc f)
112     ≡⟨ refl ⟩
113   tabulate (λ j → maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)))
114     ≡⟨ lemma-tabulate-∘ (lemma-inner f is) ⟩
115   tabulate f ∎
116     where lemma-inner : {n : ℕ} {A : Set} (f : Fin n → A) → (is : List (Fin n)) → (j : Fin n) → maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is)) ≡ f j
117           lemma-inner f []       j = begin
118             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j empty)
119               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-empty j) ⟩
120             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) nothing
121               ≡⟨ refl ⟩
122             lookup j (fromFunc f)
123               ≡⟨ lookup∘tabulate f j ⟩
124             f j ∎
125           lemma-inner f (i ∷ is)  j with j ≟ i
126           lemma-inner f (.j ∷ is) j | yes refl = cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (lemma-lookupM-insert j (f j) (restrict f is))
127           lemma-inner f (i ∷ is)  j | no j≢i = begin
128             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (insert i (f i) (restrict f is)))
129               ≡⟨ cong (maybe′ id (lookup j (fromFunc f))) (sym (lemma-lookupM-insert-other j i (f i) (restrict f is) j≢i)) ⟩
130             maybe′ id (lookup j (fromFunc f)) (lookupM j (restrict f is))
131               ≡⟨ lemma-inner f is j ⟩
132             f j ∎