define bff on a partial getlen
[~helmut/bidiragda.git] / FreeTheorems.agda
1 module FreeTheorems where
2
3 open import Level using () renaming (zero to ℓ₀)
4 open import Data.Nat using (ℕ)
5 open import Data.List using (List ; map)
6 open import Data.Vec using (Vec) renaming (map to mapV)
7 open import Function using (_∘_)
8 open import Function.Equality using (_⟶_ ; _⟨$⟩_)
9 open import Function.Injection using (module Injection) renaming (Injection to _↪_)
10 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (_≗_ ; cong) renaming (setoid to EqSetoid)
11 open import Relation.Binary using (Setoid)
12 open Injection using (to)
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14 module ListList where
15   get-type : Set₁
16   get-type = {A : Set} → List A → List A
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18   postulate
19     free-theorem : (get : get-type) → {α β : Set} → (f : α → β) → get ∘ map f ≗ map f ∘ get
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21 module VecVec where
22   get-type : (ℕ → ℕ) → Set₁
23   get-type getlen = {A : Set} {n : ℕ} → Vec A n → Vec A (getlen n)
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25   free-theorem-type : Set₁
26   free-theorem-type = {getlen : ℕ → ℕ} → (get : get-type getlen) → {α β : Set} → (f : α → β) → {n : ℕ} → get {_} {n} ∘ mapV f ≗ mapV f ∘ get
27
28   postulate
29     free-theorem : free-theorem-type
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31 module PartialVecVec where
32   get-type : {I : Setoid ℓ₀ ℓ₀} → (I ↪ (EqSetoid ℕ)) → (I ⟶ (EqSetoid ℕ)) → Set₁
33   get-type {I} gl₁ gl₂ = {A : Set} {i : Setoid.Carrier I} → Vec A (to gl₁ ⟨$⟩ i) → Vec A (gl₂ ⟨$⟩ i)
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35   postulate
36     free-theorem : {I : Setoid ℓ₀ ℓ₀} → (gl₁ : I ↪ (EqSetoid ℕ)) → (gl₂ : I ⟶ (EqSetoid ℕ)) (get : get-type gl₁ gl₂)  → {α β : Set} → (f : α → β) → {i : Setoid.Carrier I} → get {_} {i} ∘ mapV f ≗ mapV f ∘ get
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38   open VecVec using () renaming (free-theorem-type to VecVec-free-theorem-type)
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40   ≡-to-Π : {A B : Set} → (A → B) → EqSetoid A ⟶ EqSetoid B
41   ≡-to-Π f = record { _⟨$⟩_ = f; cong = cong f }
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43   VecVec-free-theorem : VecVec-free-theorem-type
44   VecVec-free-theorem {getlen} get = free-theorem Function.Injection.id (≡-to-Π getlen) get