reorganize equality imports
[~helmut/bidiragda.git] / Generic.agda
1 module Generic where
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3 import Category.Functor
4 import Category.Monad
5 open import Data.List using (List ; length) renaming ([] to []L ; _āˆ·_ to _āˆ·L_)
6 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing) renaming (setoid to MaybeEq)
7 open import Data.Nat using (ā„• ; zero ; suc)
8 open import Data.Product using (_×_ ; _,_)
9 open import Data.Vec using (Vec ; toList ; fromList ; map) renaming ([] to []V ; _āˆ·_ to _āˆ·V_)
10 open import Data.Vec.Equality using () renaming (module Equality to VecEq)
11 open import Data.Vec.Properties using (map-cong)
12 open import Function using (_āˆ˜_ ; id ; flip)
13 open import Function.Equality using (_āŸ¶_)
14 open import Level using () renaming (zero to ā„“ā‚€)
15 open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid)
16 open import Relation.Binary.Indexed using (_at_) renaming (Setoid to ISetoid)
17 open import Relation.Binary.PropositionalEquality as P using (_ā‰”_ ; _ā‰—_)
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19 open Setoid using () renaming (_ā‰ˆ_ to _āˆ‹_ā‰ˆ_)
20 open Category.Functor.RawFunctor {Level.zero} Data.Maybe.functor using (_<$>_)
21 open Category.Monad.RawMonad {Level.zero} Data.Maybe.monad using (_>>=_)
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23 ā‰”-to-Ī  : {A B : Set} ā†’ (A ā†’ B) ā†’ P.setoid A āŸ¶ P.setoid B
24 ā‰”-to-Ī  f = record { _āŸØ$āŸ©_ = f; cong = P.cong f }
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26 just-injective : {A : Set} ā†’ {x y : A} ā†’ Maybe.just x ā‰” Maybe.just y ā†’ x ā‰” y
27 just-injective P.refl = P.refl
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29 sequenceV : {A : Set} {n : ā„•} ā†’ Vec (Maybe A) n ā†’ Maybe (Vec A n)
30 sequenceV []V       = just []V
31 sequenceV (x āˆ·V xs) = x >>= (Ī» y ā†’ (_āˆ·V_ y) <$> sequenceV xs)
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33 mapMV : {A B : Set} {n : ā„•} ā†’ (A ā†’ Maybe B) ā†’ Vec A n ā†’ Maybe (Vec B n)
34 mapMV f = sequenceV āˆ˜ map f
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36 mapMV-cong : {A B : Set} {f g : A ā†’ Maybe B} ā†’ f ā‰— g ā†’ {n : ā„•} ā†’ mapMV {n = n} f ā‰— mapMV g
37 mapMV-cong fā‰—g v = P.cong sequenceV (map-cong fā‰—g v)
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39 mapMV-purity : {A B : Set} {n : ā„•} ā†’ (f : A ā†’ B) ā†’ (v : Vec A n) ā†’ mapMV (Maybe.just āˆ˜ f) v ā‰” just (map f v)
40 mapMV-purity f []V       = P.refl
41 mapMV-purity f (x āˆ·V xs) = P.cong (_<$>_ (_āˆ·V_ (f x))) (mapMV-purity f xs)
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43 maybeEq-from-ā‰” : {A : Set} {a b : Maybe A} ā†’ a ā‰” b ā†’ MaybeEq (P.setoid A) āˆ‹ a ā‰ˆ b
44 maybeEq-from-ā‰” {a = just x}  {b = .(just x)} P.refl = just P.refl
45 maybeEq-from-ā‰” {a = nothing} {b = .nothing}  P.refl = nothing
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47 maybeEq-to-ā‰” : {A : Set} {a b : Maybe A} ā†’ MaybeEq (P.setoid A) āˆ‹ a ā‰ˆ b ā†’ a ā‰” b
48 maybeEq-to-ā‰” (just P.refl) = P.refl
49 maybeEq-to-ā‰” nothing       = P.refl
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51 subst-cong : {A : Set} ā†’ (T : A ā†’ Set) ā†’ {g : A ā†’ A} ā†’ {a b : A} ā†’ (f : {c : A} ā†’ T c ā†’ T (g c)) ā†’ (p : a ā‰” b) ā†’
52              f āˆ˜ P.subst T p ā‰— P.subst T (P.cong g p) āˆ˜ f
53 subst-cong T f P.refl _ = P.refl
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55 subst-fromList : {A : Set} {x y : List A} ā†’ (p : y ā‰” x) ā†’
56                  P.subst (Vec A) (P.cong length p) (fromList y) ā‰” fromList x
57 subst-fromList P.refl = P.refl
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59 subst-subst : {A : Set} (T : A ā†’ Set) {a b c : A} ā†’ (p : a ā‰” b) ā†’ (pā€² : b ā‰” c) ā†’ (x : T a) ā†’
60               P.subst T pā€² (P.subst T p x) ā‰” P.subst T (P.trans p pā€²) x
61 subst-subst T P.refl pā€² x = P.refl
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63 toList-fromList : {A : Set} ā†’ (l : List A) ā†’ toList (fromList l) ā‰” l
64 toList-fromList []L       = P.refl
65 toList-fromList (x āˆ·L xs) = P.cong (_āˆ·L_ x) (toList-fromList xs)
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67 toList-subst : {A : Set} ā†’ {n m : ā„•} (v : Vec A n) ā†’ (p : n ā‰” m) ā†’
68                toList (P.subst (Vec A) p v) ā‰” toList v
69 toList-subst v P.refl = P.refl
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71 VecISetoid : Setoid ā„“ā‚€ ā„“ā‚€ ā†’ ISetoid ā„• ā„“ā‚€ ā„“ā‚€
72 VecISetoid S = record
73   { Carrier = Vec (Setoid.Carrier S)
74   ; _ā‰ˆ_ = Ī» x ā†’ VecEq._ā‰ˆ_ S x
75   ; isEquivalence = record
76     { refl = VecEq.refl S _
77     ; sym = VecEq.sym S
78     ; trans = VecEq.trans S }
79   }