replace rewrite with cong where feasible
[~helmut/bidiragda.git] / Generic.agda
1 module Generic where
2
3 import Category.Functor
4 import Category.Monad
5 open import Data.List using (List ; length ; replicate) renaming ([] to []L ; _āˆ·_ to _āˆ·L_)
6 open import Data.Maybe using (Maybe ; just ; nothing) renaming (setoid to MaybeEq)
7 open import Data.Nat using (ā„• ; zero ; suc)
8 open import Data.Product using (_×_ ; _,_)
9 open import Data.Vec using (Vec ; toList ; fromList ; map) renaming ([] to []V ; _āˆ·_ to _āˆ·V_)
10 open import Data.Vec.Equality using () renaming (module Equality to VecEq)
11 open import Function using (_āˆ˜_ ; id)
12 open import Level using () renaming (zero to ā„“ā‚€)
13 open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid)
14 open import Relation.Binary.Core using (_ā‰”_ ; refl)
15 open import Relation.Binary.Indexed using (_at_) renaming (Setoid to ISetoid)
16 open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (_ā‰—_ ; cong ; subst ; trans) renaming (setoid to PropEq)
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18 open Setoid using () renaming (_ā‰ˆ_ to _āˆ‹_ā‰ˆ_)
19 open Category.Functor.RawFunctor {Level.zero} Data.Maybe.functor using (_<$>_)
20 open Category.Monad.RawMonad {Level.zero} Data.Maybe.monad using (_>>=_)
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22 just-injective : {A : Set} ā†’ {x y : A} ā†’ Maybe.just x ā‰” Maybe.just y ā†’ x ā‰” y
23 just-injective refl = refl
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25 length-replicate : {A : Set} {a : A} ā†’ (n : ā„•) ā†’ length (replicate n a) ā‰” n
26 length-replicate zero    = refl
27 length-replicate (suc n) = cong suc (length-replicate n)
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29 mapMV : {A B : Set} {n : ā„•} ā†’ (A ā†’ Maybe B) ā†’ Vec A n ā†’ Maybe (Vec B n)
30 mapMV f []V = just []V
31 mapMV f (x āˆ·V xs) = (f x) >>= (Ī» y ā†’ (_āˆ·V_ y) <$> (mapMV f xs))
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33 mapMV-cong : {A B : Set} {f g : A ā†’ Maybe B} ā†’ f ā‰— g ā†’ {n : ā„•} ā†’ mapMV {n = n} f ā‰— mapMV g
34 mapMV-cong fā‰—g []V = refl
35 mapMV-cong {f = f} {g = g} fā‰—g (x āˆ·V xs) with f x | g x | fā‰—g x
36 mapMV-cong fā‰—g (x āˆ·V xs) | just y | .(just y) | refl = cong (_<$>_ (_āˆ·V_ y)) (mapMV-cong fā‰—g xs)
37 mapMV-cong fā‰—g (x āˆ·V xs) | nothing | .nothing | refl = refl
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39 mapMV-purity : {A B : Set} {n : ā„•} ā†’ (f : A ā†’ B) ā†’ (v : Vec A n) ā†’ mapMV (Maybe.just āˆ˜ f) v ā‰” just (map f v)
40 mapMV-purity f []V       = refl
41 mapMV-purity f (x āˆ·V xs) = cong (_<$>_ (_āˆ·V_ (f x))) (mapMV-purity f xs)
42
43 maybeEq-from-ā‰” : {A : Set} {a b : Maybe A} ā†’ a ā‰” b ā†’ MaybeEq (PropEq A) āˆ‹ a ā‰ˆ b
44 maybeEq-from-ā‰” {a = just x}  {b = .(just x)} refl = just refl
45 maybeEq-from-ā‰” {a = nothing} {b = .nothing}  refl = nothing
46
47 maybeEq-to-ā‰” : {A : Set} {a b : Maybe A} ā†’ MaybeEq (PropEq A) āˆ‹ a ā‰ˆ b ā†’ a ā‰” b
48 maybeEq-to-ā‰” (just refl) = refl
49 maybeEq-to-ā‰” nothing     = refl
50
51 sequenceV : {A : Set} {n : ā„•} ā†’ Vec (Maybe A) n ā†’ Maybe (Vec A n)
52 sequenceV = mapMV id
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54 sequence-map : {A B : Set} {n : ā„•} ā†’ (f : A ā†’ Maybe B) ā†’ sequenceV {n = n} āˆ˜ map f ā‰— mapMV f
55 sequence-map f []V = refl
56 sequence-map f (x āˆ·V xs) with f x
57 sequence-map f (x āˆ·V xs) | just y = cong (_<$>_ (_āˆ·V_ y)) (sequence-map f xs)
58 sequence-map f (x āˆ·V xs) | nothing = refl
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60 subst-cong : {A : Set} ā†’ (T : A ā†’ Set) ā†’ {g : A ā†’ A} ā†’ {a b : A} ā†’ (f : {c : A} ā†’ T c ā†’ T (g c)) ā†’ (p : a ā‰” b) ā†’
61              f āˆ˜ subst T p ā‰— subst T (cong g p) āˆ˜ f
62 subst-cong T f refl _ = refl
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64 subst-fromList : {A : Set} {x y : List A} ā†’ (p : y ā‰” x) ā†’
65                  subst (Vec A) (cong length p) (fromList y) ā‰” fromList x
66 subst-fromList refl = refl
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68 subst-subst : {A : Set} (T : A ā†’ Set) {a b c : A} ā†’ (p : a ā‰” b) ā†’ (pā€² : b ā‰” c) ā†’ (x : T a) ā†’
69               subst T pā€² (subst T p x) ā‰” subst T (trans p pā€²) x
70 subst-subst T refl pā€² x = refl
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72 toList-fromList : {A : Set} ā†’ (l : List A) ā†’ toList (fromList l) ā‰” l
73 toList-fromList []L       = refl
74 toList-fromList (x āˆ·L xs) = cong (_āˆ·L_ x) (toList-fromList xs)
75
76 toList-subst : {A : Set} ā†’ {n m : ā„•} (v : Vec A n) ā†’ (p : n ā‰” m) ā†’
77                toList (subst (Vec A) p v) ā‰” toList v
78 toList-subst v refl = refl
79
80 VecISetoid : Setoid ā„“ā‚€ ā„“ā‚€ ā†’ ISetoid ā„• ā„“ā‚€ ā„“ā‚€
81 VecISetoid S = record
82   { Carrier = Vec (Setoid.Carrier S)
83   ; _ā‰ˆ_ = Ī» x ā†’ VecEq._ā‰ˆ_ S x
84   ; isEquivalence = record
85     { refl = VecEq.refl S _
86     ; sym = VecEq.sym S
87     ; trans = VecEq.trans S }
88   }