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authorHelmut Grohne <grohne@cs.uni-bonn.de>
Mon, 10 Feb 2014 14:50:27 +0000 (15:50 +0100)
committerHelmut Grohne <grohne@cs.uni-bonn.de>
Mon, 10 Feb 2014 14:50:27 +0000 (15:50 +0100)
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BFF.agda
Bidir.agda
FinMap.agda
Precond.agda

index 1770b5e..56ba359 100644 (file)
--- a/BFF.agda
+++ b/BFF.agda
@@ -30,14 +30,18 @@ module VecBFF (A : DecSetoid ℓ₀ ℓ₀) where
   enumerate : {n : ℕ} → Vec Carrier n → Vec (Fin n) n
   enumerate _ = tabulate id
 
+  enumeratel : (n : ℕ) → Vec (Fin n) n
+  enumeratel _ = tabulate id
+
   denumerate : {n : ℕ} → Vec Carrier n → Fin n → Carrier
   denumerate = flip lookupV
 
-  bff : (G : Get) → ({n : ℕ} → Vec Carrier n → Vec Carrier (Get.getlen G n) → Maybe (Vec Carrier n))
-  bff G s v = let   s′ = enumerate s
+  bff : (G : Get) → {n : ℕ} → (m : ℕ) → Vec Carrier n → Vec Carrier (Get.getlen G m) → Maybe (Vec Carrier m)
+  bff G m s v = let s′ = enumerate s
                     t′ = Get.get G s′
                     g  = fromFunc (denumerate s)
                     g′ = delete-many t′ g
-                    h  = assoc t′ v
-                    h′ = (flip union g′) <$> h
-                in h′ >>= flip mapMV s′ ∘ flip lookupM
+                    t  = enumeratel m
+                    h  = assoc (Get.get G t) v
+                    h′ = (flip union (reshape g′ m)) <$> h
+                in h′ >>= flip mapMV t ∘ flip lookupM
index da9cafb..f0b7bc1 100644 (file)
@@ -31,7 +31,7 @@ open import FinMap
 import CheckInsert
 open CheckInsert A
 import BFF
-open BFF.VecBFF A using (assoc ; enumerate ; denumerate ; bff)
+open BFF.VecBFF A using (assoc ; enumerate ; enumeratel ; denumerate ; bff)
 open Setoid using () renaming (_≈_ to _∋_≈_)
 open module A = DecSetoid A using (Carrier) renaming (_≟_ to deq)
 
@@ -125,18 +125,20 @@ lemma-map-denumerate-enumerate (a ∷ as) = cong (_∷_ a) (begin
   as ∎)
   where open ≡-Reasoning
 
-theorem-1 : (G : Get) → {m : ℕ} → (s : Vec Carrier m) → bff G s (Get.get G s) ≡ just s
-theorem-1 G s = begin
-  bff G s (get s)
-    ≡⟨ cong (bff G s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
-  bff G s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
-    ≡⟨ cong (bff G s) (free-theorem (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
-  bff G s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
+theorem-1 : (G : Get) → {m : ℕ} → (s : Vec Carrier m) → bff G s (Get.get G s) ≡ just s
+theorem-1 G {m} s = begin
+  bff G s (get s)
+    ≡⟨ cong (bff G s ∘ get) (sym (lemma-map-denumerate-enumerate s)) ⟩
+  bff G s (get (map (denumerate s) (enumerate s)))
+    ≡⟨ cong (bff G s) (free-theorem (denumerate s) (enumerate s)) ⟩
+  bff G s (map (denumerate s) (get (enumerate s)))
     ≡⟨ refl ⟩
   (h′↦r ∘ h↦h′) (assoc (get (enumerate s)) (map (denumerate s) (get (enumerate s))))
     ≡⟨ cong (h′↦r ∘ h↦h′) (lemma-1 (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
   (h′↦r ∘ h↦h′ ∘ just) (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s))))
     ≡⟨ refl ⟩
+  (h′↦r ∘ just) (union (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s)))) (reshape (delete-many (get (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s))) m))
+    ≡⟨ cong (h′↦r ∘ Maybe.just ∘ union (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s))))) (lemma-reshape-id (delete-many (get (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s)))) ⟩
   (h′↦r ∘ just) (union (restrict (denumerate s) (toList (get (enumerate s)))) (delete-many (get (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s))))
     ≡⟨ cong (h′↦r ∘ just) (lemma-disjoint-union (denumerate s) (get (enumerate s))) ⟩
   (h′↦r ∘ just) (fromFunc (denumerate s))
@@ -150,7 +152,7 @@ theorem-1 G s = begin
   just s ∎
     where open ≡-Reasoning
           open Get G
-          h↦h′ = _<$>_ (flip union (delete-many (get (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s))))
+          h↦h′ = _<$>_ (flip union (reshape (delete-many (get (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s))) m))
           h′↦r = flip _>>=_ (flip mapMV (enumerate s) ∘ flip lookupM)
 
 
@@ -158,14 +160,14 @@ lemma-<$>-just : {A B : Set} {f : A → B} {b : B} (ma : Maybe A) → f <$> ma 
 lemma-<$>-just (just x) f<$>ma≡just-b = x , refl
 lemma-<$>-just nothing  ()
 
-lemma-union-not-used : {m n : ℕ} {A : Set} (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMapMaybe n A) → (is : Vec (Fin n) m) → (toList is) in-domain-of h → map (flip lookupM (union h h')) is ≡ map (flip lookupM h) is
-lemma-union-not-used h h' []        p = refl
-lemma-union-not-used h h' (i ∷ is') (Data.List.All._∷_ (x , px) p') = cong₂ _∷_ (begin
-      lookupM i (union h h')
-        ≡⟨ lookup∘tabulate (λ j → maybe′ just (lookupM j h') (lookupM j h)) i ⟩
-      maybe′ just (lookupM i h') (lookupM i h)
-        ≡⟨ cong (maybe′ just (lookupM i h')) px ⟩
-      maybe′ just (lookupM i h') (just x)
+lemma-union-not-used : {m n n' : ℕ} {A : Set} (h : FinMapMaybe n A) → (h' : FinMapMaybe n' A) → (is : Vec (Fin n) m) → (toList is) in-domain-of h → map (flip lookupM (union h (reshape h' n))) is ≡ map (flip lookupM h) is
+lemma-union-not-used         h h' []        p = refl
+lemma-union-not-used {n = n} h h' (i ∷ is') (Data.List.All._∷_ (x , px) p') = cong₂ _∷_ (begin
+      lookupM i (union h (reshape h' n))
+        ≡⟨ lookup∘tabulate (λ j → maybe′ just (lookupM j (reshape h' n)) (lookupM j h)) i ⟩
+      maybe′ just (lookupM i (reshape h' n)) (lookupM i h)
+        ≡⟨ cong (maybe′ just (lookupM i (reshape h' n))) px ⟩
+      maybe′ just (lookupM i (reshape h' n)) (just x)
         ≡⟨ sym px ⟩
       lookupM i h ∎)
   (lemma-union-not-used h h' is' p')
@@ -220,22 +222,22 @@ sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong
 sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | nothing | nothing | nothing = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
 sequence-cong {S}                                       (VecEq._∷-cong_ nothing xs≈ys) = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
 
-theorem-2 : (G : Get) → {m : ℕ} → (v : Vec Carrier (Get.getlen G m)) → (s u : Vec Carrier m) → bff G s v ≡ just u → VecISetoid A.setoid at _ ∋ Get.get G u ≈ v
-theorem-2 G v s u p with (lemma->>=-just ((flip union (delete-many (Get.get G (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s)))) <$> (assoc (Get.get G (enumerate s)) v)) p)
-theorem-2 G v s u p | h′ , ph′ with (lemma-<$>-just (assoc (Get.get G (enumerate s)) v) ph′)
-theorem-2 G v s u p | h′ , ph′ | h , ph = drop-just (begin⟨ MaybeSetoid (VecISetoid A.setoid at _) ⟩
+theorem-2 : (G : Get) → {m : ℕ} → (n : ℕ) → (s : Vec Carrier m) → (v : Vec Carrier (Get.getlen G n)) → (u : Vec Carrier n) → bff G n s v ≡ just u → VecISetoid A.setoid at _ ∋ Get.get G u ≈ v
+theorem-2 G n s v u p with (lemma->>=-just ((flip union (reshape (delete-many (Get.get G (enumerate s)) (fromFunc (denumerate s))) n)) <$> (assoc (Get.get G (enumeratel n)) v)) p)
+theorem-2 G n s v u p | h′ , ph′ with (lemma-<$>-just (assoc (Get.get G (enumeratel n)) v) ph′)
+theorem-2 G n s v u p | h′ , ph′ | h , ph = drop-just (begin⟨ MaybeSetoid (VecISetoid A.setoid at _) ⟩
   get <$> (just u)
     ≡⟨ cong (_<$>_ get) (sym p) ⟩
-  get <$> (bff G s v)
+  get <$> (bff G s v)
     ≡⟨ cong (_<$>_ get ∘ flip _>>=_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) ph ⟩
-  get <$> mapMV (flip lookupM (h↦h′ h)) s′
+  get <$> mapMV (flip lookupM (h↦h′ h)) t
     ≡⟨ lemma-get-mapMV (trans (cong (flip _>>=_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) (sym ph)) p) G ⟩
-  mapMV (flip lookupM (h↦h′ h)) (get s′)
-    ≡⟨ sym (sequence-map (flip lookupM (h↦h′ h)) (get s′)) ⟩
-  sequenceV (map (flip lookupM (h↦h′ h)) (get s′))
-    ≡⟨ cong sequenceV (lemma-union-not-used h g′ (get s′) (lemma-assoc-domain (get s′) v h ph)) ⟩
-  sequenceV (map (flip lookupM h) (get s′))
-    ≈⟨ sequence-cong (lemma-2 (get s′) v h ph) ⟩
+  mapMV (flip lookupM (h↦h′ h)) (get t)
+    ≡⟨ sym (sequence-map (flip lookupM (h↦h′ h)) (get t)) ⟩
+  sequenceV (map (flip lookupM (h↦h′ h)) (get t))
+    ≡⟨ cong sequenceV (lemma-union-not-used h g′ (get t) (lemma-assoc-domain (get t) v h ph)) ⟩
+  sequenceV (map (flip lookupM h) (get t))
+    ≈⟨ sequence-cong (lemma-2 (get t) v h ph) ⟩
   sequenceV (map just v)
     ≡⟨ lemma-just-sequence v ⟩
   just v ∎)
@@ -244,5 +246,6 @@ theorem-2 G v s u p | h′ , ph′ | h , ph = drop-just (begin⟨ MaybeSetoid (V
           s′   = enumerate s
           g    = fromFunc (denumerate s)
           g′   = delete-many (get s′) g
-          h↦h′ = flip union g′
-          h′↦r = flip mapMV s′ ∘ flip lookupM
+          t    = enumeratel n
+          h↦h′ = flip union (reshape g′ n)
+          h′↦r = flip mapMV (enumeratel n) ∘ flip lookupM
index c46e637..240bbe1 100644 (file)
@@ -40,6 +40,11 @@ fromAscList ((f , a) ∷ xs) = insert f a (fromAscList xs)
 fromFunc : {A : Set} {n : ℕ} → (Fin n → A) → FinMapMaybe n A
 fromFunc = mapV just ∘ tabulate
 
+reshape : {n : ℕ} {A : Set} → FinMapMaybe n A → (l : ℕ) → FinMapMaybe l A
+reshape m        zero    = []
+reshape []       (suc l) = nothing ∷ (reshape [] l)
+reshape (x ∷ xs) (suc l) = x ∷ (reshape xs l)
+
 union : {A : Set} {n : ℕ} → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A → FinMapMaybe n A
 union m1 m2 = tabulate (λ f → maybe′ just (lookupM f m2) (lookupM f m1))
 
@@ -108,6 +113,10 @@ lemma-lookupM-delete {i = zero}  {j = suc j} (_ ∷ _)  p = refl
 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = zero}  (x ∷ xs) p = refl
 lemma-lookupM-delete {i = suc i} {j = suc j} (x ∷ xs) p = lemma-lookupM-delete xs (p ∘ cong suc)
 
+lemma-reshape-id : {n : ℕ} {A : Set} → (m : FinMapMaybe n A) → reshape m n ≡ m
+lemma-reshape-id []       = refl
+lemma-reshape-id (x ∷ xs) = cong (_∷_ x) (lemma-reshape-id xs)
+
 lemma-disjoint-union : {n m : ℕ} {A : Set} → (f : Fin n → A) → (t : Vec (Fin n) m) → union (restrict f (toList t)) (delete-many t (fromFunc f)) ≡ fromFunc f
 lemma-disjoint-union {n} {m} f t = trans (lemma-tabulate-∘ (lemma-inner t)) (sym (lemma-fromFunc-tabulate f))
     where lemma-inner : {m : ℕ} → (t : Vec (Fin n) m) → (x : Fin n) → maybe′ just (lookupM x (delete-many t (fromFunc f))) (lookupM x (restrict f (toList t))) ≡ just (f x)
index 354e5f1..9dd077e 100644 (file)
@@ -25,7 +25,7 @@ open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨
 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
 
 open import Generic using (mapMV ; sequenceV ; sequence-map)
-open import FinMap using (FinMapMaybe ; lookupM ; union ; fromFunc ; empty ; insert ; lemma-lookupM-empty ; delete-many ; lemma-tabulate-∘ ; delete ; lemma-lookupM-delete ; lemma-lookupM-fromFunc)
+open import FinMap using (FinMapMaybe ; lookupM ; union ; fromFunc ; empty ; insert ; lemma-lookupM-empty ; delete-many ; lemma-tabulate-∘ ; delete ; lemma-lookupM-delete ; lemma-lookupM-fromFunc ; reshape ; lemma-reshape-id)
 import CheckInsert
 open CheckInsert (decSetoid deq) using (checkInsert ; lemma-checkInsert-new ; lemma-lookupM-checkInsert-other)
 import BFF
@@ -33,7 +33,7 @@ import Bidir
 open Bidir (decSetoid deq) using (_in-domain-of_ ; lemma-assoc-domain ; lemma-just-sequence)
 import GetTypes
 open GetTypes.VecVec using (Get ; module Get)
-open BFF.VecBFF (decSetoid deq) using (assoc ; enumerate ; denumerate ; bff)
+open BFF.VecBFF (decSetoid deq) using (assoc ; enumerate ; denumerate ; bff ; enumeratel)
 
 lemma-maybe-just : {A : Set} → (a : A) → (ma : Maybe A) → maybe′ Maybe.just (just a) ma ≡ Maybe.just (maybe′ id a ma)
 lemma-maybe-just a (just x) = refl
@@ -67,26 +67,29 @@ lemma-union-delete-fromFunc {n = n} {is = i ∷ is} {h = h} {g = g} (Data.List.A
           maybe′ just (lookupM i (delete-many is (fromFunc g))) (lookup i h) ∎
         inner f | no f≢i = cong (flip (maybe′ just) (lookup f h)) (lemma-lookupM-delete (delete-many is (fromFunc g)) f≢i)
 
-assoc-enough : (G : Get) → {m : ℕ} → (s : Vec Carrier m) → (v : Vec Carrier (Get.getlen G m)) → ∃ (λ h → assoc (Get.get G (enumerate s)) v ≡ just h) → ∃ λ u → bff G s v ≡ just u
-assoc-enough G s v (h , p) = _ , (begin
-  bff G s v
-    ≡⟨ cong (flip _>>=_ (flip mapMV s′ ∘ flip lookupM) ∘ _<$>_ (flip union g′)) p ⟩
-  mapMV (flip lookupM (union h g′)) s′
-    ≡⟨ sym (sequence-map (flip lookupM (union h g′)) s′) ⟩
-  sequenceV (map (flip lookupM (union h g′)) s′)
-    ≡⟨ cong (sequenceV ∘ flip map s′ ∘ flip lookupM) (proj₂ wp) ⟩
-  sequenceV (map (flip lookupM (fromFunc (proj₁ wp))) s′)
-    ≡⟨ cong sequenceV (map-cong (lemma-lookupM-fromFunc (proj₁ wp)) s′) ⟩
-  sequenceV (map (Maybe.just ∘ proj₁ wp) s′)
-    ≡⟨ cong sequenceV (map-∘ just (proj₁ wp) s′) ⟩
-  sequenceV (map Maybe.just (map (proj₁ wp) s′))
-    ≡⟨ lemma-just-sequence (map (proj₁ wp) s′) ⟩
-  just (map (proj₁ wp) s′) ∎)
+assoc-enough : (G : Get) → {m : ℕ} → (s : Vec Carrier m) → (v : Vec Carrier (Get.getlen G m)) → ∃ (λ h → assoc (Get.get G (enumeratel m)) v ≡ just h) → ∃ λ u → bff G m s v ≡ just u
+assoc-enough G {m} s v (h , p) = _ , (begin
+  bff G m s v
+    ≡⟨ cong (flip _>>=_ (flip mapMV t ∘ flip lookupM) ∘ _<$>_ (flip union (reshape g′ m))) p ⟩
+  mapMV (flip lookupM (union h (reshape g′ m))) t
+    ≡⟨ sym (sequence-map (flip lookupM (union h (reshape g′ m))) t) ⟩
+  sequenceV (map (flip lookupM (union h (reshape g′ m))) t)
+    ≡⟨ cong (sequenceV ∘ flip map t ∘ flip lookupM ∘ union h) (lemma-reshape-id g′) ⟩
+  sequenceV (map (flip lookupM (union h g′)) t)
+    ≡⟨ cong (sequenceV ∘ flip map t ∘ flip lookupM) (proj₂ wp) ⟩
+  sequenceV (map (flip lookupM (fromFunc (proj₁ wp))) t)
+    ≡⟨ cong sequenceV (map-cong (lemma-lookupM-fromFunc (proj₁ wp)) t) ⟩
+  sequenceV (map (Maybe.just ∘ proj₁ wp) t)
+    ≡⟨ cong sequenceV (map-∘ just (proj₁ wp) t) ⟩
+  sequenceV (map Maybe.just (map (proj₁ wp) t))
+    ≡⟨ lemma-just-sequence (map (proj₁ wp) t) ⟩
+  just (map (proj₁ wp) t) ∎)
   where open Get G
         s′ = enumerate s
         g  = fromFunc (denumerate s)
         g′ = delete-many (get s′) g
-        wp = lemma-union-delete-fromFunc (lemma-assoc-domain (get s′) v h p)
+        t  = enumeratel m
+        wp = lemma-union-delete-fromFunc (lemma-assoc-domain (get t) v h p)
 
 data All-different {A : Set} : List A → Set where
   different-[] : All-different []