also allow Shaped types for the view
authorHelmut Grohne <grohne@cs.uni-bonn.de>
Mon, 10 Mar 2014 15:11:15 +0000 (16:11 +0100)
committerHelmut Grohne <grohne@cs.uni-bonn.de>
Mon, 10 Mar 2014 15:11:15 +0000 (16:11 +0100)
Albeit long, this commit is relatively boring.

BFF.agda
Bidir.agda
GetTypes.agda
Instances.agda
Precond.agda

index b78e2af..12524ca 100644 (file)
--- a/BFF.agda
+++ b/BFF.agda
@@ -18,10 +18,10 @@ open import Generic using (sequenceV ; ≡-to-Π)
 open import Structures using (Shaped ; module Shaped)
 open import Instances using (VecShaped)
 import CheckInsert
-open import GetTypes using (VecVec-to-PartialVecVec ; PartialVecVec-to-PartialShapeVec)
+open import GetTypes using (VecVec-to-PartialVecVec ; PartialVecVec-to-PartialShapeVec ; PartialShapeVec-to-PartialShapeShape)
 
 module PartialShapeBFF (A : DecSetoid ℓ₀ ℓ₀) where
-  open GetTypes.PartialShapeVec public using (Get ; module Get)
+  open GetTypes.PartialShapeShape public using (Get ; module Get)
   open module A = DecSetoid A using (Carrier) renaming (_≟_ to deq)
   open CheckInsert A
 
@@ -36,19 +36,19 @@ module PartialShapeBFF (A : DecSetoid ℓ₀ ℓ₀) where
   denumerate : {S : Set} {C : Set → S → Set} → (ShapeT : Shaped S C) → {α : Set} {s : S} → (c : C α s) → Fin (Shaped.arity ShapeT s) → α
   denumerate ShapeT c = flip lookupV (Shaped.content ShapeT c)
 
-  bff : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i) → Vec Carrier (Get.|gl₂| G j) → Maybe (Get.Container G (Maybe Carrier) (Get.|gl₁| G j))
-  bff G {i} j s v = let s′ = enumerate ShapeT (|gl₁| i)
+  bff : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i) → Get.ViewContainer G Carrier (Get.|gl₂| G j) → Maybe (Get.SourceContainer G (Maybe Carrier) (Get.|gl₁| G j))
+  bff G {i} j s v = let s′ = enumerate SourceShapeT (|gl₁| i)
                         t′ = get s′
-                        g  = fromFunc (denumerate ShapeT s)
-                        g′ = delete-many t′ g
-                        t  = enumerate ShapeT (|gl₁| j)
-                        h  = assoc (get t) v
-                        h′ = (flip union (reshape g′ (arity (|gl₁| j)))) <$> h
-                    in ((λ f → fmap f t) ∘ flip lookupM) <$> h′
+                        g  = fromFunc (denumerate SourceShapeT s)
+                        g′ = delete-many (Shaped.content ViewShapeT t′) g
+                        t  = enumerate SourceShapeT (|gl₁| j)
+                        h  = assoc (Shaped.content ViewShapeT (get t)) (Shaped.content ViewShapeT v)
+                        h′ = (flip union (reshape g′ (Shaped.arity SourceShapeT (|gl₁| j)))) <$> h
+                    in ((λ f → fmapS f t) ∘ flip lookupM) <$> h′
     where open Get G
 
-  sbff : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i) → Vec Carrier (Get.|gl₂| G j) → Maybe (Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G j))
-  sbff G j s v = bff G j s v >>= Get.sequence G
+  sbff : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i) → Get.ViewContainer G Carrier (Get.|gl₂| G j) → Maybe (Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G j))
+  sbff G j s v = bff G j s v >>= Shaped.sequence (Get.SourceShapeT G)
 
 module PartialVecBFF (A : DecSetoid ℓ₀ ℓ₀) where
   open GetTypes.PartialVecVec public using (Get)
@@ -67,10 +67,10 @@ module PartialVecBFF (A : DecSetoid ℓ₀ ℓ₀) where
   denumerate = PartialShapeBFF.denumerate A VecShaped
 
   bff : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → Vec Carrier (Get.|gl₁| G i) → Vec Carrier (Get.|gl₂| G j) → Maybe (Vec (Maybe Carrier) (Get.|gl₁| G j))
-  bff G j s v = PartialShapeBFF.bff A (PartialVecVec-to-PartialShapeVec G) j s v
+  bff G j s v = PartialShapeBFF.bff A (PartialShapeVec-to-PartialShapeShape (PartialVecVec-to-PartialShapeVec G)) j s v
 
   sbff : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → Vec Carrier (Get.|gl₁| G i) → Vec Carrier (Get.|gl₂| G j) → Maybe (Vec Carrier (Get.|gl₁| G j))
-  sbff  G j s v = PartialShapeBFF.sbff A (PartialVecVec-to-PartialShapeVec G) j s v
+  sbff  G j s v = PartialShapeBFF.sbff A (PartialShapeVec-to-PartialShapeShape (PartialVecVec-to-PartialShapeVec G)) j s v
 
 module VecBFF (A : DecSetoid ℓ₀ ℓ₀) where
   open GetTypes.VecVec public using (Get)
index 9637f17..1513a17 100644 (file)
@@ -25,9 +25,9 @@ open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid ; module DecSetoid)
 import Relation.Binary.EqReasoning as EqR
 
 open import Structures using (Functor ; IsFunctor ; Shaped ; module Shaped)
-open import Instances using (MaybeFunctor)
+open import Instances using (MaybeFunctor ; ShapedISetoid)
 import GetTypes
-open GetTypes.PartialShapeVec using (Get ; module Get)
+open GetTypes.PartialShapeShape using (Get ; module Get)
 open import Generic using (mapMV ; mapMV-cong ; mapMV-purity ; sequenceV ; VecISetoid ; just-injective)
 open import FinMap
 import CheckInsert
@@ -122,38 +122,40 @@ lemma-fmap-denumerate-enumerate {S} {C} ShapeT {s = s} c = begin
         open Shaped ShapeT
 
 
-theorem-1 : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (s : Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → bff G i s (Get.get G s) ≡ just (Get.fmap G just s)
+theorem-1 : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (s : Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → bff G i s (Get.get G s) ≡ just (Get.fmapS G just s)
 theorem-1 G {i} s = begin
   bff G i s (get s)
-    ≡⟨ cong (bff G i s ∘ get) (sym (lemma-fmap-denumerate-enumerate ShapeT s)) ⟩
-  bff G i s (get (fmap f t))
+    ≡⟨ cong (bff G i s ∘ get) (sym (lemma-fmap-denumerate-enumerate SourceShapeT s)) ⟩
+  bff G i s (get (fmapS f t))
     ≡⟨ cong (bff G i s) (free-theorem f t) ⟩
-  bff G i s (map f (get t))
+  bff G i s (fmapV f (get t))
     ≡⟨ refl ⟩
-  h′↦r <$> (h↦h′ <$> (assoc (get t) (map f (get t))))
-    ≡⟨ cong (_<$>_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) (lemma-1 f (get t)) ⟩
-  (Maybe.just ∘ h′↦r ∘ h↦h′) (restrict f (toList (get t)))
+  h′↦r <$> (h↦h′ <$> (assoc (Shaped.content ViewShapeT (get t)) (Shaped.content ViewShapeT (fmapV f (get t)))))
+    ≡⟨ cong (_<$>_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′ ∘ assoc (Shaped.content ViewShapeT (get t))) (Shaped.fmap-content ViewShapeT f (get t)) ⟩
+  h′↦r <$> (h↦h′ <$> (assoc (Shaped.content ViewShapeT (get t)) (map f (Shaped.content ViewShapeT (get t)))))
+    ≡⟨ cong (_<$>_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) (lemma-1 f (Shaped.content ViewShapeT (get t))) ⟩
+  (Maybe.just ∘ h′↦r ∘ h↦h′) (restrict f (toList (Shaped.content ViewShapeT (get t))))
     ≡⟨ cong just (begin
-      h′↦r (union (restrict f (toList (get t))) (reshape g′ (arity (|gl₁| i))))
-        ≡⟨ cong (h′↦r ∘ union (restrict f (toList (get t)))) (lemma-reshape-id g′) ⟩
-      h′↦r (union (restrict f (toList (get t))) g′)
-        ≡⟨ cong h′↦r (lemma-disjoint-union f (get t)) ⟩
+      h′↦r (union (restrict f (toList (Shaped.content ViewShapeT (get t)))) (reshape g′ (Shaped.arity SourceShapeT (|gl₁| i))))
+        ≡⟨ cong (h′↦r ∘ union (restrict f (toList (Shaped.content ViewShapeT (get t))))) (lemma-reshape-id g′) ⟩
+      h′↦r (union (restrict f (toList (Shaped.content ViewShapeT (get t)))) g′)
+        ≡⟨ cong h′↦r (lemma-disjoint-union f (Shaped.content ViewShapeT (get t))) ⟩
       h′↦r (fromFunc f)
         ≡⟨ refl ⟩
-      fmap (flip lookupM (fromFunc f)) t
-        ≡⟨ IsFunctor.cong (isFunctor (|gl₁| i)) (lemma-lookupM-fromFunc f) t ⟩
-      fmap (Maybe.just ∘ f) t
-        ≡⟨ IsFunctor.composition (isFunctor (|gl₁| i)) just f t ⟩
-      fmap just (fmap f t)
-        ≡⟨ cong (fmap just) (lemma-fmap-denumerate-enumerate ShapeT s) ⟩
-      fmap just s ∎) ⟩ _ ∎
+      fmapS (flip lookupM (fromFunc f)) t
+        ≡⟨ IsFunctor.cong (Shaped.isFunctor SourceShapeT (|gl₁| i)) (lemma-lookupM-fromFunc f) t ⟩
+      fmapS (Maybe.just ∘ f) t
+        ≡⟨ IsFunctor.composition (Shaped.isFunctor SourceShapeT (|gl₁| i)) just f t ⟩
+      fmapS just (fmapS f t)
+        ≡⟨ cong (fmapS just) (lemma-fmap-denumerate-enumerate SourceShapeT s) ⟩
+      fmapS just s ∎) ⟩ _ ∎
     where open ≡-Reasoning
           open Get G
-          t    = enumerate ShapeT (|gl₁| i)
-          f    = denumerate ShapeT s
-          g′   = delete-many (get t) (fromFunc f)
-          h↦h′ = flip union (reshape g′ (arity (|gl₁| i)))
-          h′↦r = (λ f′ → fmap f′ t) ∘ flip lookupM
+          t    = enumerate SourceShapeT (|gl₁| i)
+          f    = denumerate SourceShapeT s
+          g′   = delete-many (Shaped.content ViewShapeT (get t)) (fromFunc f)
+          h↦h′ = flip union (reshape g′ (Shaped.arity SourceShapeT (|gl₁| i)))
+          h′↦r = (λ f′ → fmapS f′ t) ∘ flip lookupM
 
 
 lemma-<$>-just : {A B : Set} {f : A → B} {b : B} (ma : Maybe A) → f <$> ma ≡ just b → ∃ λ a → ma ≡ just a
@@ -226,66 +228,85 @@ lemma-sequence-successful ShapeT {s = s} c {r} p = just-injective (sym (begin
         open Shaped ShapeT
         wp = lemma-<$>-just (sequenceV (content c)) p
 
-lemma-get-sequence : {A : Set} → (G : Get) → {i : Get.|I| G} {v : Get.Container G (Maybe A) (Get.|gl₁| G i)} {r : Get.Container G A (Get.|gl₁| G i)} → Get.sequence G v ≡ just r → Get.get G <$> Get.sequence G v ≡ sequenceV (Get.get G v)
+lemma-get-sequence : {A : Set} → (G : Get) → {i : Get.|I| G} {v : Get.SourceContainer G (Maybe A) (Get.|gl₁| G i)} {r : Get.SourceContainer G A (Get.|gl₁| G i)} → Shaped.sequence (Get.SourceShapeT G) v ≡ just r → Get.get G <$> Shaped.sequence (Get.SourceShapeT G) v ≡ Shaped.sequence (Get.ViewShapeT G) (Get.get G v)
 lemma-get-sequence G {v = v} {r = r} p = begin
-  get <$> sequence v
-    ≡⟨ cong (_<$>_ get ∘ sequence) (lemma-sequence-successful ShapeT v p) ⟩
-  get <$> sequence (fmap just r)
-    ≡⟨ cong (_<$>_ get) (lemma-just-sequence ShapeT r) ⟩
+  get <$> Shaped.sequence SourceShapeT v
+    ≡⟨ cong (_<$>_ get ∘ Shaped.sequence SourceShapeT) (lemma-sequence-successful SourceShapeT v p) ⟩
+  get <$> Shaped.sequence SourceShapeT (fmapS just r)
+    ≡⟨ cong (_<$>_ get) (lemma-just-sequence SourceShapeT r) ⟩
   get <$> just r
-    ≡⟨ sym (lemma-just-sequenceV (get r)) ⟩
-  sequenceV (map just (get r))
-    ≡⟨ cong sequenceV (sym (free-theorem just r)) ⟩
-  sequenceV (get (fmap just r))
-    ≡⟨ cong (sequenceV ∘ get) (sym (lemma-sequence-successful ShapeT v p)) ⟩
-  sequenceV (get v) ∎
+    ≡⟨ sym (lemma-just-sequence ViewShapeT (get r)) ⟩
+  Shaped.sequence ViewShapeT (fmapV just (get r))
+    ≡⟨ cong (Shaped.sequence ViewShapeT) (sym (free-theorem just r)) ⟩
+  Shaped.sequence ViewShapeT (get (fmapS just r))
+    ≡⟨ cong (Shaped.sequence ViewShapeT ∘ get) (sym (lemma-sequence-successful SourceShapeT v p)) ⟩
+  Shaped.sequence ViewShapeT (get v) ∎
   where open ≡-Reasoning
         open Get G
 
-sequence-cong : {S : Setoid ℓ₀ ℓ₀} {n : ℕ} {m₁ m₂ : Setoid.Carrier (VecISetoid (MaybeSetoid S) at n)} → VecISetoid (MaybeSetoid S) at _ ∋ m₁ ≈ m₂ → MaybeSetoid (VecISetoid S at n) ∋ sequenceV m₁ ≈ sequenceV m₂
-sequence-cong {S}                                       VecEq.[]-cong = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
-sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) with sequenceV xs | sequenceV ys | sequence-cong xs≈ys
-sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | just sxs | just sys | just p = MaybeEq.just (VecEq._∷-cong_ x≈y p)
-sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | nothing | just sys | ()
-sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | just sxs | nothing | ()
-sequence-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | nothing | nothing | nothing = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
-sequence-cong {S}                                       (VecEq._∷-cong_ nothing xs≈ys) = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
+sequenceV-cong : {S : Setoid ℓ₀ ℓ₀} {n : ℕ} {m₁ m₂ : Setoid.Carrier (VecISetoid (MaybeSetoid S) at n)} → VecISetoid (MaybeSetoid S) at _ ∋ m₁ ≈ m₂ → MaybeSetoid (VecISetoid S at n) ∋ sequenceV m₁ ≈ sequenceV m₂
+sequenceV-cong {S}                                       VecEq.[]-cong = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
+sequenceV-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) with sequenceV xs | sequenceV ys | sequenceV-cong xs≈ys
+sequenceV-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | just sxs | just sys | just p = MaybeEq.just (VecEq._∷-cong_ x≈y p)
+sequenceV-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | nothing | just sys | ()
+sequenceV-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | just sxs | nothing | ()
+sequenceV-cong {S} {m₁ = just x ∷ xs} {m₂ = just y ∷ ys} (VecEq._∷-cong_ (just x≈y) xs≈ys) | nothing | nothing | nothing = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
+sequenceV-cong {S}                                       (VecEq._∷-cong_ nothing xs≈ys) = Setoid.refl (MaybeSetoid (VecISetoid S at _))
 
-theorem-2 : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → (s : Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Vec Carrier (Get.|gl₂| G j)) → (u : Get.Container G (Maybe Carrier) (Get.|gl₁| G j)) → bff G j s v ≡ just u → VecISetoid (MaybeSetoid A.setoid) at _ ∋ Get.get G u ≈ map just v
-theorem-2 G {i} j s v u p with (lemma-<$>-just ((flip union (reshape (delete-many (Get.get G (enumerate (Get.ShapeT G) (Get.|gl₁| G i))) (fromFunc (denumerate (Get.ShapeT G) s))) (Get.arity G (Get.|gl₁| G j)))) <$> (assoc (Get.get G (enumerate (Get.ShapeT G) (Get.|gl₁| G j))) v)) p)
-theorem-2 G {i} j s v u p | h′ , ph′ with (lemma-<$>-just (assoc (Get.get G (enumerate (Get.ShapeT G) (Get.|gl₁| G j))) v) ph′)
-theorem-2 G {i} j s v u p | h′ , ph′ | h , ph = begin⟨ VecISetoid (MaybeSetoid A.setoid) at _ ⟩
-  get u
-    ≡⟨ just-injective (trans (cong (_<$>_ get) (sym p))
-                             (cong (_<$>_ get ∘ _<$>_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) ph)) ⟩
-  get (h′↦r (h↦h′ h))
+sequence-cong : {S : Set} {C : Set → S → Set} → (ShapeT : Shaped S C) → (α : Setoid ℓ₀ ℓ₀) → {s : S} {x y : C (Maybe (Setoid.Carrier α)) s} → ShapedISetoid (EqSetoid S) ShapeT (MaybeSetoid α) at _ ∋ x ≈ y → MaybeSetoid (ShapedISetoid (EqSetoid S) ShapeT α at _) ∋ Shaped.sequence ShapeT x ≈ Shaped.sequence ShapeT y
+sequence-cong ShapeT α {x = x} {y = y} (shape≈ , content≈) with sequenceV (Shaped.content ShapeT x) | sequenceV (Shaped.content ShapeT y) | sequenceV-cong content≈
+sequence-cong ShapeT α {s} (shape≈ , content≈) | .(just x) | .(just y) | just {x} {y} x≈y = just (refl , (begin
+  content (fill s x)
+    ≡⟨ fill-content s x ⟩
+  x
+    ≈⟨ x≈y ⟩
+  y
+    ≡⟨ sym (fill-content s y) ⟩
+  content (fill s y) ∎))
+  where open EqR (VecISetoid α at _)
+        open Shaped ShapeT
+sequence-cong ShapeT α (shape≈ , content≈) | .nothing  | .nothing  | nothing = nothing
+
+theorem-2 : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → (s : Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Get.ViewContainer G Carrier (Get.|gl₂| G j)) → (u : Get.SourceContainer G (Maybe Carrier) (Get.|gl₁| G j)) → bff G j s v ≡ just u → ShapedISetoid (EqSetoid _) (Get.ViewShapeT G) (MaybeSetoid A.setoid) at _ ∋ Get.get G u ≈ Get.fmapV G just v
+theorem-2 G {i} j s v u p with (lemma-<$>-just ((flip union (reshape (delete-many (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) (Get.get G (enumerate (Get.SourceShapeT G) (Get.|gl₁| G i)))) (fromFunc (denumerate (Get.SourceShapeT G) s))) (Shaped.arity (Get.SourceShapeT G) (Get.|gl₁| G j)))) <$> (assoc (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) (Get.get G (enumerate (Get.SourceShapeT G) (Get.|gl₁| G j)))) (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) v))) p)
+theorem-2 G {i} j s v u p | h′ , ph′ with (lemma-<$>-just (assoc (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) (Get.get G (enumerate (Get.SourceShapeT G) (Get.|gl₁| G j)))) (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) v)) ph′)
+theorem-2 G {i} j s v u p | h′ , ph′ | h , ph = refl , (begin⟨ VecISetoid (MaybeSetoid A.setoid) at _ ⟩
+  content (get u)
+    ≡⟨ cong content (just-injective (trans (cong (_<$>_ get) (sym p))
+                                           (cong (_<$>_ get ∘ _<$>_ h′↦r ∘ _<$>_ h↦h′) ph))) ⟩
+  content (get (h′↦r (h↦h′ h)))
     ≡⟨ refl ⟩
-  get (fmap (flip lookupM (h↦h′ h)) t)
-    ≡⟨ free-theorem (flip lookupM (h↦h′ h)) t ⟩
-  map (flip lookupM (h↦h′ h)) (get t)
-    ≡⟨ lemma-union-not-used h g′ (get t) (lemma-assoc-domain (get t) v h ph) ⟩
-  map (flip lookupM h) (get t)
-    ≈⟨ lemma-2 (get t) v h ph ⟩
-  map just v ∎
+  content (get (fmapS (flip lookupM (h↦h′ h)) t))
+    ≡⟨ cong content (free-theorem (flip lookupM (h↦h′ h)) t) ⟩
+  content (fmapV (flip lookupM (h↦h′ h)) (get t))
+    ≡⟨ Shaped.fmap-content ViewShapeT (flip lookupM (h↦h′ h)) (get t) ⟩
+  map (flip lookupM (h↦h′ h)) (content (get t))
+    ≡⟨ lemma-union-not-used h g′ (content (get t)) (lemma-assoc-domain (content (get t)) (content v) h ph) ⟩
+  map (flip lookupM h) (content (get t))
+    ≈⟨ lemma-2 (content (get t)) (content v) h ph ⟩
+  map just (content v)
+    ≡⟨ sym (Shaped.fmap-content ViewShapeT just v) ⟩
+  content (fmapV just v) ∎)
     where open SetoidReasoning
           open Get G
-          s′   = enumerate ShapeT (|gl₁| i)
-          g    = fromFunc (denumerate ShapeT s)
-          g′   = delete-many (get s′) g
-          t    = enumerate ShapeT (|gl₁| j)
-          h↦h′ = flip union (reshape g′ (arity (|gl₁| j)))
-          h′↦r = (λ f → fmap f t) ∘ flip lookupM
+          open Shaped ViewShapeT using (content)
+          s′   = enumerate SourceShapeT (|gl₁| i)
+          g    = fromFunc (denumerate SourceShapeT s)
+          g′   = delete-many (Shaped.content ViewShapeT (get s′)) g
+          t    = enumerate SourceShapeT (|gl₁| j)
+          h↦h′ = flip union (reshape g′ (Shaped.arity SourceShapeT (|gl₁| j)))
+          h′↦r = (λ f → fmapS f t) ∘ flip lookupM
 
-theorem-2′ : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → (s : Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Vec Carrier (Get.|gl₂| G j)) → (u : Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G j)) → bff G j s v ≡ just (Get.fmap G just u) → VecISetoid A.setoid at _ ∋ Get.get G u ≈ v
+theorem-2′ : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → (s : Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Get.ViewContainer G Carrier (Get.|gl₂| G j)) → (u : Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G j)) → bff G j s v ≡ just (Get.fmapS G just u) → ShapedISetoid (EqSetoid _) (Get.ViewShapeT G) A.setoid at _ ∋ Get.get G u ≈ v
 theorem-2′ G j s v u p = drop-just (begin
   get <$> just u
-    ≡⟨ cong (_<$>_ get) (sym (lemma-just-sequence ShapeT u)) ⟩
-  get <$> sequence (fmap just u)
-    ≡⟨ lemma-get-sequence G (lemma-just-sequence ShapeT u) ⟩
-  sequenceV (get (fmap just u))
-    ≈⟨ sequence-cong (theorem-2 G j s v (fmap just u) p) ⟩
-  sequenceV (map just v)
-    ≡⟨ lemma-just-sequenceV v ⟩
+    ≡⟨ cong (_<$>_ get) (sym (lemma-just-sequence SourceShapeT u)) ⟩
+  get <$> Shaped.sequence SourceShapeT (fmapS just u)
+    ≡⟨ lemma-get-sequence G (lemma-just-sequence SourceShapeT u) ⟩
+  Shaped.sequence ViewShapeT (get (fmapS just u))
+    ≈⟨ sequence-cong ViewShapeT A.setoid (theorem-2 G j s v (fmapS just u) p) ⟩
+  Shaped.sequence ViewShapeT (fmapV just v)
+    ≡⟨ lemma-just-sequence ViewShapeT v ⟩
   just v ∎)
-  where open EqR (MaybeSetoid (VecISetoid A.setoid at _))
-        open Get G
+  where open Get G
+        open EqR (MaybeSetoid (ShapedISetoid (EqSetoid _) ViewShapeT A.setoid at _))
index 0db3f31..2812e2b 100644 (file)
@@ -84,3 +84,43 @@ PartialVecVec-to-PartialShapeVec G = record
   ; get          = get
   ; free-theorem = free-theorem
   } where open PartialVecVec.Get G
+
+module PartialShapeShape where
+  record Get : Set₁ where
+    field
+      SourceShape : Set
+      SourceContainer : Set → SourceShape → Set
+      SourceShapeT : Shaped SourceShape SourceContainer
+
+      ViewShape : Set
+      ViewContainer : Set → ViewShape → Set
+      ViewShapeT : Shaped ViewShape ViewContainer
+
+      I : Setoid ℓ₀ ℓ₀
+      gl₁ : I ↪ EqSetoid SourceShape
+      gl₂ : I ⟶ EqSetoid ViewShape
+
+    |I|   = Setoid.Carrier I
+    |gl₁| = _⟨$⟩_ (to gl₁)
+    |gl₂| = _⟨$⟩_ gl₂
+
+    open Shaped SourceShapeT using () renaming (fmap to fmapS)
+    open Shaped ViewShapeT using () renaming (fmap to fmapV)
+
+    field
+      get : {A : Set} {i : |I|} → SourceContainer A (|gl₁| i) → ViewContainer A (|gl₂| i)
+      free-theorem : {α β : Set} → (f : α → β) → {i : |I|} → get {_} {i} ∘ fmapS f ≗ fmapV f ∘ get
+
+    open Shaped SourceShapeT public using () renaming (fmap to fmapS)
+    open Shaped ViewShapeT public using () renaming (fmap to fmapV)
+
+PartialShapeVec-to-PartialShapeShape : PartialShapeVec.Get → PartialShapeShape.Get
+PartialShapeVec-to-PartialShapeShape G = record
+  { SourceShapeT = ShapeT
+  ; ViewShapeT   = VecShaped
+  ; I            = I
+  ; gl₁          = gl₁
+  ; gl₂          = gl₂
+  ; get          = get
+  ; free-theorem = free-theorem
+  } where open PartialShapeVec.Get G
index b41b0a2..2e4ed3e 100644 (file)
@@ -1,13 +1,22 @@
 module Instances where
 
+open import Level using () renaming (zero to ℓ₀)
 open import Category.Functor using (RawFunctor)
 open import Data.Maybe as M using (Maybe)
 open import Data.Nat using (ℕ)
+open import Data.Product using (_×_ ; _,_ ; proj₁ ; proj₂)
 open import Data.Vec using (Vec)
+import Data.Vec.Equality
+open Data.Vec.Equality.PropositionalEquality using () renaming (to-≡ to VecEq-to-≡)
 open import Function using (_∘_ ; id)
-open import Relation.Binary.PropositionalEquality as P using (_≗_ ; refl)
+open import Relation.Binary using (Setoid ; module Setoid)
+open import Relation.Binary.Indexed using (_at_) renaming (Setoid to ISetoid)
+open import Relation.Binary.PropositionalEquality as P using (_≡_ ; _≗_ ; module ≡-Reasoning)
 
-open import Structures using (Functor ; Shaped)
+open Setoid using () renaming (_≈_ to _∋_≈_)
+
+open import Generic using (VecISetoid)
+open import Structures using (Functor ; Shaped ; module Shaped)
 
 MaybeFunctor : Functor Maybe
 MaybeFunctor = record
@@ -21,15 +30,15 @@ MaybeFunctor = record
 
         cong : {α β : Set} {g h : α → β} → g ≗ h → _<$>_ g ≗ _<$>_ h
         cong g≗h (M.just x) = P.cong M.just (g≗h x)
-        cong g≗h M.nothing  = refl
+        cong g≗h M.nothing  = P.refl
 
         identity : {α : Set} → _<$>_ {α} id ≗ id
-        identity (M.just x) = refl
-        identity M.nothing  = refl
+        identity (M.just x) = P.refl
+        identity M.nothing  = P.refl
 
         composition : {α β γ : Set} → (g : β → γ) → (h : α → β) → _<$>_ (g ∘ h) ≗ _<$>_ g ∘ _<$>_ h
-        composition g h (M.just x) = refl
-        composition g h M.nothing refl
+        composition g h (M.just x) = P.refl
+        composition g h M.nothing  = P.refl
 
 VecShaped : Shaped ℕ Vec
 VecShaped = record
@@ -37,6 +46,28 @@ VecShaped = record
   ; content = id
   ; fill = λ _ → id
   ; isShaped = record
-    { content-fill = λ _ → refl
-    ; fill-content = λ _ _ → refl
+    { content-fill = λ _ → P.refl
+    ; fill-content = λ _ _ → P.refl
     } }
+
+ShapedISetoid : (S : Setoid ℓ₀ ℓ₀) {C : Set → (Setoid.Carrier S) → Set} → Shaped (Setoid.Carrier S) C → Setoid ℓ₀ ℓ₀ → ISetoid (Setoid.Carrier S) ℓ₀ ℓ₀
+ShapedISetoid S {C} ShapeT α = record
+  { Carrier = C (Setoid.Carrier α)
+  ; _≈_ = λ {s₁} {s₂} c₁ c₂ → S ∋ s₁ ≈ s₂ × ISetoid._≈_ (VecISetoid α) (content c₁) (content c₂)
+  ; isEquivalence = record
+    { refl = Setoid.refl S , ISetoid.refl (VecISetoid α)
+    ; sym = λ p → Setoid.sym S (proj₁ p) , ISetoid.sym (VecISetoid α) (proj₂ p)
+    ; trans = λ p q → Setoid.trans S (proj₁ p) (proj₁ q) , ISetoid.trans (VecISetoid α) (proj₂ p) (proj₂ q)
+    } } where open Shaped ShapeT
+
+Shaped≈-to-≡ : {S : Set} {C : Set → S → Set} → (ShapeT : Shaped S C) → (α : Set) → {s : S} {x y : C α s} → ShapedISetoid (P.setoid S) ShapeT (P.setoid α) at s ∋ x ≈ y → x ≡ y
+Shaped≈-to-≡ ShapeT α {s} {x} {y} (shape≈ , content≈) = begin
+  x
+    ≡⟨ P.sym (content-fill x) ⟩
+  fill s (content x)
+    ≡⟨ P.cong (fill s) (VecEq-to-≡ content≈) ⟩
+  fill s (content y)
+    ≡⟨ content-fill y ⟩
+  y ∎
+  where open ≡-Reasoning
+        open Shaped ShapeT
index bc54cd5..85c955c 100644 (file)
@@ -25,7 +25,7 @@ open import Relation.Binary.PropositionalEquality using (refl ; cong ; inspect ;
 open Relation.Binary.PropositionalEquality.≡-Reasoning using (begin_ ; _≡⟨_⟩_ ; _∎)
 open import Relation.Nullary using (yes ; no)
 
-open import Structures using (IsFunctor)
+open import Structures using (IsFunctor ; Shaped)
 open import FinMap using (FinMapMaybe ; lookupM ; union ; fromFunc ; empty ; insert ; lemma-lookupM-empty ; delete-many ; lemma-tabulate-∘ ; delete ; lemma-lookupM-delete ; lemma-lookupM-fromFunc ; reshape ; lemma-reshape-id)
 import CheckInsert
 open CheckInsert (decSetoid deq) using (checkInsert ; lemma-checkInsert-new ; lemma-lookupM-checkInsert-other)
@@ -33,7 +33,7 @@ import BFF
 import Bidir
 open Bidir (decSetoid deq) using (_in-domain-of_ ; lemma-assoc-domain)
 import GetTypes
-open GetTypes.PartialShapeVec using (Get ; module Get)
+open GetTypes.PartialShapeShape using (Get ; module Get)
 open BFF.PartialShapeBFF (decSetoid deq) using (assoc ; enumerate ; denumerate ; bff)
 
 lemma-maybe-just : {A : Set} → (a : A) → (ma : Maybe A) → maybe′ Maybe.just (just a) ma ≡ Maybe.just (maybe′ id a ma)
@@ -63,32 +63,32 @@ lemma-union-delete-fromFunc {n = n} {is = i ∷ is} {h = h} {g = g} (Data.List.A
           maybe′ just (lookupM i (delete-many is (fromFunc g))) (lookup i h) ∎
         inner f | no f≢i = cong (flip (maybe′ just) (lookup f h)) (lemma-lookupM-delete (delete-many is (fromFunc g)) f≢i)
 
-assoc-enough : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → (s : Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Vec Carrier (Get.|gl₂| G j)) → ∃ (λ h → assoc (Get.get G (enumerate (Get.ShapeT G) (Get.|gl₁| G j))) v ≡ just h) → ∃ λ u → bff G j s v ≡ just u
-assoc-enough G {i} j s v (h , p) = _ , cong (_<$>_ ((λ f → fmap f t) ∘ flip lookupM) ∘ _<$>_ (flip union (reshape g′ (arity (|gl₁| j))))) p
+assoc-enough : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (j : Get.|I| G) → (s : Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Get.ViewContainer G Carrier (Get.|gl₂| G j)) → ∃ (λ h → assoc (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) (Get.get G (enumerate (Get.SourceShapeT G) (Get.|gl₁| G j)))) (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) v) ≡ just h) → ∃ λ u → bff G j s v ≡ just u
+assoc-enough G {i} j s v (h , p) = _ , cong (_<$>_ ((λ f → fmapS f t) ∘ flip lookupM) ∘ _<$>_ (flip union (reshape g′ (Shaped.arity SourceShapeT (|gl₁| j))))) p
   where open Get G
-        g′ = delete-many (get (enumerate ShapeT (|gl₁| i))) (fromFunc (denumerate ShapeT s))
-        t  = enumerate ShapeT (|gl₁| j)
+        g′ = delete-many (Shaped.content ViewShapeT (get (enumerate SourceShapeT (|gl₁| i)))) (fromFunc (denumerate SourceShapeT s))
+        t  = enumerate SourceShapeT (|gl₁| j)
 
-assoc-enough′ : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (s : Get.Container G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Vec Carrier (Get.|gl₂| G i)) → ∃ (λ h → assoc (Get.get G (enumerate (Get.ShapeT G) (Get.|gl₁| G i))) v ≡ just h) → ∃ λ u → bff G i s v ≡ just (Get.fmap G just u)
+assoc-enough′ : (G : Get) → {i : Get.|I| G} → (s : Get.SourceContainer G Carrier (Get.|gl₁| G i)) → (v : Get.ViewContainer G Carrier (Get.|gl₂| G i)) → ∃ (λ h → assoc (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) (Get.get G (enumerate (Get.SourceShapeT G) (Get.|gl₁| G i)))) (Shaped.content (Get.ViewShapeT G) v) ≡ just h) → ∃ λ u → bff G i s v ≡ just (Get.fmapS G just u)
 assoc-enough′ G {i} s v (h , p) = _ , (begin
   bff G i s v
     ≡⟨ proj₂ (assoc-enough G i s v (h , p)) ⟩
-  just (fmap (flip lookupM (union h (reshape g′ (arity (|gl₁| i))))) t)
+  just (fmapS (flip lookupM (union h (reshape g′ (Shaped.arity SourceShapeT (|gl₁| i))))) t)
     ≡⟨ cong just (begin _
-        ≡⟨ cong ((λ f → fmap f t) ∘ flip lookupM ∘ union h) (lemma-reshape-id g′) ⟩
-      fmap (flip lookupM (union h g′)) t
-        ≡⟨ cong ((λ f → fmap f t) ∘ flip lookupM) (proj₂ wp) ⟩
-      fmap (flip lookupM (fromFunc (proj₁ wp))) t
-        ≡⟨ IsFunctor.cong (isFunctor (|gl₁| i)) (lemma-lookupM-fromFunc (proj₁ wp)) t ⟩
-      fmap (Maybe.just ∘ proj₁ wp) t
-        ≡⟨ IsFunctor.composition (isFunctor (|gl₁| i)) just (proj₁ wp) t ⟩
-      fmap Maybe.just (fmap (proj₁ wp) t) ∎) ⟩ _ ∎)
+        ≡⟨ cong ((λ f → fmapS f t) ∘ flip lookupM ∘ union h) (lemma-reshape-id g′) ⟩
+      fmapS (flip lookupM (union h g′)) t
+        ≡⟨ cong ((λ f → fmapS f t) ∘ flip lookupM) (proj₂ wp) ⟩
+      fmapS (flip lookupM (fromFunc (proj₁ wp))) t
+        ≡⟨ IsFunctor.cong (Shaped.isFunctor SourceShapeT (|gl₁| i)) (lemma-lookupM-fromFunc (proj₁ wp)) t ⟩
+      fmapS (Maybe.just ∘ proj₁ wp) t
+        ≡⟨ IsFunctor.composition (Shaped.isFunctor SourceShapeT (|gl₁| i)) just (proj₁ wp) t ⟩
+      fmapS Maybe.just (fmapS (proj₁ wp) t) ∎) ⟩ _ ∎)
   where open Get G
-        s′ = enumerate ShapeT (|gl₁| i)
-        g  = fromFunc (denumerate ShapeT s)
-        g′ = delete-many (get s′) g
-        t  = enumerate ShapeT (|gl₁| i)
-        wp = lemma-union-delete-fromFunc (lemma-assoc-domain (get t) v h p)
+        s′ = enumerate SourceShapeT (|gl₁| i)
+        g  = fromFunc (denumerate SourceShapeT s)
+        g′ = delete-many (Shaped.content ViewShapeT (get s′)) g
+        t  = enumerate SourceShapeT (|gl₁| i)
+        wp = lemma-union-delete-fromFunc (lemma-assoc-domain (Shaped.content ViewShapeT (get t)) (Shaped.content ViewShapeT v) h p)
 
 data All-different {A : Set} : List A → Set where
   different-[] : All-different []